Matemáticas II · Cataluña 2018

Calcule $M \cdot N$ y compruebe que la matriz resultante no es invertible.

Encuentre los valores de $t$ para los cuales la matriz $N \cdot M$ es invertible.

Explique razonadamente que para cualquier valor del parámetro $m$ el sistema tiene una única solución.

Resuelva el sistema y encuentre la expresión general del punto solución.

Encuentre la ecuación paramétrica de la recta $r$.

Calcule todos los puntos de la recta $r$ que están a la misma distancia de los planos $\pi_1: x + y = -2$ y $\pi_2: x - z = 1$.

Calcule el punto simétrico del punto $P$ respecto del plano $\pi$.

Calcule la ecuación cartesiana (es decir, que tiene la forma $Ax + By + Cz = D$) de los dos planos paralelos a $\pi$ que están a una distancia $\sqrt{3}$ del punto $P$.

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica y que es paralela a la recta de ecuación $x + 3y = 0$.

Calcule, si los hay, los puntos de la gráfica en los que la función presenta un máximo o mínimo relativo o un punto de inflexión.

Calcule los valores de $a$ y de $b$ que hacen que la función tenga un extremo relativo en el punto $(1, e)$.

Para el caso $a = 3$ y $b = 5$, calcule la asíntota horizontal de la función $f$ cuando $x$ tiende a $+\infty$.

Determine la ecuación general (es decir, que tiene la forma $Ax + By + Cz = D$) del plano que pasa por $P$ y $Q$ y es paralelo a la recta $r$.

Dados el plano $x + 2y + m \cdot z = 7$ y el plano que pasa por $P$, $Q$ y $R$, encuentre $m$ para que sean paralelos y no coincidentes.

Calcule $f''(2)$, $f'(2)$ y $f(2)$.

Calcule $\int_{-3}^{2} f'(x) dx$.

Compruebe que la función $f(x)$ cumple el enunciado del teorema de Bolzano en el intervalo $[0, 2]$ y que, por tanto, la ecuación $f(x) = 0$ tiene alguna solución en el intervalo $(0, 2)$. Compruebe que $x = 1$ es una solución de la ecuación $f(x) = 0$ y razone, teniendo en cuenta el signo de $f'(x)$, que la solución es única.

A partir del resultado final del apartado anterior, encuentre el área limitada por la gráfica de la función $f(x)$, el eje de las abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 1$.

Encuentre la ecuación cartesiana (es decir, que tiene la forma $Ax + By + Cz = D$) del plano que contiene la recta $r_1$ y es paralelo a la recta $r_2$.

Diga qué condición se debe cumplir para que exista un plano que contenga la recta $r_1$ y sea perpendicular a la recta $r_2$. Con las rectas $r_1$ y $r_2$ del enunciado, compruebe si existe un plano que contenga la recta $r_1$ y sea perpendicular a la recta $r_2$.

Escriba el sistema y compruebe que los valores propuestos como solución son correctos.

¿Qué valor se debería poner en lugar del 2 que está enmarcado en la imagen, correspondiente a la celda E8 ($a_{33}$ de la matriz de coeficientes), para que el sistema fuese incompatible?

Si $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ es la matriz identidad de orden 3, calcule para qué valores de $k$ la matriz $A + kI$ tiene inversa. Encuentre, si existe, la matriz inversa de $A - 2I$.

Calcule la matriz $X$ que satisface la ecuación $X \cdot A + A^{\intercal} = 2 \cdot X$, en la que $A^{\intercal}$ es la matriz transpuesta de la matriz $A$.