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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2018

12 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que permitan almacenar datos o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Sean las matrices M=(120−1t2)M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ t & 2 \end{pmatrix} y N=(−1t210−1)N = \begin{pmatrix} -1 & t & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
a
Calcule M⋅NM \cdot N y compruebe que la matriz resultante no es invertible.1 pt
b
Encuentre los valores de tt para los cuales la matriz N⋅MN \cdot M es invertible.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales {6x+3y+2z=53x+4y+6z=3x+3y+2z=m\begin{cases} 6x + 3y + 2z = 5 \\ 3x + 4y + 6z = 3 \\ x + 3y + 2z = m \end{cases}, para m∈Rm \in \mathbb{R}.
a
Explique razonadamente que para cualquier valor del parámetro mm el sistema tiene una única solución.1 pt
b
Resuelva el sistema y encuentre la expresión general del punto solución.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Sea rr la recta que pasa por los puntos A=(0,1,1)A = (0, 1, 1) y B=(1,1,−1)B = (1, 1, -1).
Datos
  • La distancia de un punto de coordenadas (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) al plano de ecuación Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 se calcula con la expresión ∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
a
Encuentre la ecuación paramétrica de la recta rr.1 pt
b
Calcule todos los puntos de la recta rr que están a la misma distancia de los planos π1:x+y=−2\pi_1: x + y = -2 y π2:x−z=1\pi_2: x - z = 1.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Sean el plano de ecuación π:x+y−z=0\pi: x + y - z = 0 y el punto P=(2,3,2)P = (2, 3, 2).
Datos
  • La distancia de un punto de coordenadas (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) al plano de ecuación Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 se calcula con la expresión ∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
a
Calcule el punto simétrico del punto PP respecto del plano π\pi.1 pt
b
Calcule la ecuación cartesiana (es decir, que tiene la forma Ax+By+Cz=DAx + By + Cz = D) de los dos planos paralelos a π\pi que están a una distancia 3\sqrt{3} del punto PP.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Sea la función f(x)=x3−x2f(x) = x^3 - x^2.
a
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica y que es paralela a la recta de ecuación x+3y=0x + 3y = 0.1 pt
b
Calcule, si los hay, los puntos de la gráfica en los que la función presenta un máximo o mínimo relativo o un punto de inflexión.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Sea la función f(x)=a⋅e−x2+bxf(x) = a \cdot e^{-x^2 + bx} con a≠0a \neq 0 y b≠0b \neq 0.
a
Calcule los valores de aa y de bb que hacen que la función tenga un extremo relativo en el punto (1,e)(1, e).1 pt
b
Para el caso a=3a = 3 y b=5b = 5, calcule la asíntota horizontal de la función ff cuando xx tiende a +∞+\infty.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Considere los puntos P=(3,−2,1)P = (3, -2, 1), Q=(5,0,3)Q = (5, 0, 3), R=(1,2,3)R = (1, 2, 3) y la recta r:{x+y+1=02y+3z−5=0r: \begin{cases} x + y + 1 = 0 \\ 2y + 3z - 5 = 0 \end{cases}.
a
Determine la ecuación general (es decir, que tiene la forma Ax+By+Cz=DAx + By + Cz = D) del plano que pasa por PP y QQ y es paralelo a la recta rr.1 pt
b
Dados el plano x+2y+m⋅z=7x + 2y + m \cdot z = 7 y el plano que pasa por PP, QQ y RR, encuentre mm para que sean paralelos y no coincidentes.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Sabemos que una función f(x)f(x) está definida para todos los números reales y que es derivable dos veces. Sabemos también que tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x=2x = 2, que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)f(x) en este punto es y=−124x+249y = -124x + 249 y que f(−3)=−4f(-3) = -4.
a
Calcule f′′(2)f''(2), f′(2)f'(2) y f(2)f(2).1 pt
b
Calcule ∫−32f′(x)dx\int_{-3}^{2} f'(x) dx.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Sea la función f(x)=x+x−2f(x) = \sqrt{x} + x - 2.
a
Compruebe que la función f(x)f(x) cumple el enunciado del teorema de Bolzano en el intervalo [0,2][0, 2] y que, por tanto, la ecuación f(x)=0f(x) = 0 tiene alguna solución en el intervalo (0,2)(0, 2). Compruebe que x=1x = 1 es una solución de la ecuación f(x)=0f(x) = 0 y razone, teniendo en cuenta el signo de f′(x)f'(x), que la solución es única.1 pt
b
A partir del resultado final del apartado anterior, encuentre el área limitada por la gráfica de la función f(x)f(x), el eje de las abscisas y las rectas x=0x = 0 y x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Sean las rectas r1:x−1=y−2−1=z−5r_1: x - 1 = \frac{y - 2}{-1} = z - 5 y r2:(x,y,z)=(2−3λ,−1+λ,2)r_2: (x, y, z) = (2 - 3\lambda, -1 + \lambda, 2).
a
Encuentre la ecuación cartesiana (es decir, que tiene la forma Ax+By+Cz=DAx + By + Cz = D) del plano que contiene la recta r1r_1 y es paralelo a la recta r2r_2.1 pt
b
Diga qué condición se debe cumplir para que exista un plano que contenga la recta r1r_1 y sea perpendicular a la recta r2r_2. Con las rectas r1r_1 y r2r_2 del enunciado, compruebe si existe un plano que contenga la recta r1r_1 y sea perpendicular a la recta r2r_2.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Unos estudiantes de bachillerato han programado una hoja de cálculo como la de la figura siguiente que da la solución de un sistema de ecuaciones compatible determinado de una manera automática:
Hoja de cálculo con una matriz de coeficientes y términos independientes para un sistema de ecuaciones, mostrando la solución x=1, y=-2, z=3.
a
Escriba el sistema y compruebe que los valores propuestos como solución son correctos.1 pt
b
¿Qué valor se debería poner en lugar del 2 que está enmarcado en la imagen, correspondiente a la celda E8 (a33a_{33} de la matriz de coeficientes), para que el sistema fuese incompatible?1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Considere la matriz A=(−1010−10111)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
a
Si I=(100010001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} es la matriz identidad de orden 3, calcule para qué valores de kk la matriz A+kIA + kI tiene inversa. Encuentre, si existe, la matriz inversa de A−2IA - 2I.1 pt
b
Calcule la matriz XX que satisface la ecuación X⋅A+A⊺=2⋅XX \cdot A + A^{\intercal} = 2 \cdot X, en la que A⊺A^{\intercal} es la matriz transpuesta de la matriz AA.1 pt
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