Matemáticas II · Aragón 2016

Determine para qué valores de $k$ el sistema que aparece a continuación es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible: $$\begin{cases} x + y + k z = 6 \\ x + k y + z = 0 \\ k x - y + z = - 6 \end{cases}$$

Resuélvalo, si es posible, cuando $k = -1$.

Determine la matriz inversa, si existe, de la matriz siguiente: $$M = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ En caso de que exista, compruebe que la matriz encontrada es efectivamente la inversa de la matriz $M$.

Determine la matriz $A^2 + B^2$ siendo $A$ y $B$ las matrices solución del siguiente sistema: $$2A + B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A - B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Determine el valor del parámetro $a$ para que el plano $\pi : x - 3y + az = -6$ sea paralelo a la recta: $$r: \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ x + 3z = -7 \end{cases}$$

Determine el ángulo entre esa recta $r$ y el plano: $\tilde{\pi}: 2x - 3y - z + 6 = 0$

Determine, si existen, todos los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función que aparece a continuación sea continua: $$f(x) = \begin{cases} a e^x & \text{si } x < 0 \\ 1 - x^2 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ b(1 - e^{x-1}) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$

Considere ahora que $a = 1$. Usando la definición de derivada, estudie si la función es derivable en $x = 0$.

Determine: $$\lim_{x \to +\infty} (\ln(x))^{\frac{1}{e^x}}$$

Determine: $$\int \frac{(\ln(x))^2}{\sqrt{x}} dx$$

Considere la función: $f(x) = x + \frac{4}{x}$

Determine el área limitada por la curva $f(x) = -2 \sen\left(\frac{x}{2}\right)$, y las rectas $x = 0$, $x = \pi$ y el eje de abcisas $y = 0$.