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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2016

3 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Determine para qué valores de kk el sistema que aparece a continuación es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible:{x+y+kz=6x+ky+z=0kx−y+z=−6\begin{cases} x + y + k z = 6 \\ x + k y + z = 0 \\ k x - y + z = - 6 \end{cases}2 pts
b
Resuélvalo, si es posible, cuando k=−1k = -1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Determine la ecuación de la recta, expresada como intersección de dos planos, que pasa por el punto (1,−1,2)(1, -1, 2) y es perpendicular al plano determinado por los puntos A=(1,0,1)A = (1, 0, 1), B=(3,2,1)B = (3, 2, 1), C=(2,−1,0)C = (2, -1, 0).
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Ejercicio 3

3
5 puntos
a
Determine, si existen, todos los valores de los parámetros aa y bb para que la función que aparece a continuación sea continua:f(x)={aexsi x<01−x2si 0≤x<1b(1−ex−1)si x≥1f(x) = \begin{cases} a e^x & \text{si } x < 0 \\ 1 - x^2 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ b(1 - e^{x-1}) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}1 pt
b
Considere ahora que a=1a = 1. Usando la definición de derivada, estudie si la función es derivable en x=0x = 0.1 pt
c
Determine:lim⁡x→+∞(ln⁡(x))1ex\lim_{x \to +\infty} (\ln(x))^{\frac{1}{e^x}}1,5 pts
d
Determine:∫(ln⁡(x))2xdx\int \frac{(\ln(x))^2}{\sqrt{x}} dx1,5 pts
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Determine la matriz inversa, si existe, de la matriz siguiente:M=(2−120−102−21)M = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}En caso de que exista, compruebe que la matriz encontrada es efectivamente la inversa de la matriz MM.1,5 pts
b
Determine la matriz A2+B2A^2 + B^2 siendo AA y BB las matrices solución del siguiente sistema:2A+B=(1420)2A + B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}A−B=(1−110)A - B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
Determine el valor del parámetro aa para que el plano π:x−3y+az=−6\pi : x - 3y + az = -6 sea paralelo a la recta:r:{2x−3y=1x+3z=−7r: \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ x + 3z = -7 \end{cases}1,5 pts
b
Determine el ángulo entre esa recta rr y el plano: π~:2x−3y−z+6=0\tilde{\pi}: 2x - 3y - z + 6 = 00,5 pts
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Ejercicio 3

3
5 puntos
a
Considere la función: f(x)=x+4xf(x) = x + \frac{4}{x}3 pts
a.1
Determine el dominio y las asíntotas, si existen, de la función f(x)f(x).1,5 pts
a.2
Determine los extremos relativos y puntos de inflexión, si existen, de la función f(x)f(x).1,5 pts
b
Determine el área limitada por la curva f(x)=−2sen⁡(x2)f(x) = -2 \sen\left(\frac{x}{2}\right), y las rectas x=0x = 0, x=πx = \pi y el eje de abcisas y=0y = 0.2 pts
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