Matemáticas II · Galicia 2008

Calcula los valores de $m$ para los que $A$ tiene inversa.

Para $m = 1$, calcula la matriz $X$ que verifica: $X \cdot A + X - 2A = 0$

Discute, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} 2x + 3y + z = m \\ x - 2y + z = 2 \\ 3x + y + 2z = 1 \end{cases}$$

Resuelve, si es posible, el sistema anterior para el caso $m = -1$.

Sean $\vec{u}, \vec{v}$ dos vectores tales que $|\vec{u}| = 3, |\vec{v}| = 4, |\vec{u} - \vec{v}| = 5$. Calcula el ángulo que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Calcula el producto mixto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \times \vec{v}]$, siendo $\vec{u} \times \vec{v}$ el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

Dadas las rectas $r: \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{-2}$ y $s: \begin{cases} x = 1 + 6\lambda \\ y = 4\lambda \\ z = -4\lambda \end{cases}$ estudia su posición relativa y calcula la ecuación del plano que pasa por el punto $P(1,1,1)$ y contiene a $r$.

¿Son coplanarios los puntos $A(1,0,0), B(3,1,0), C(1,1,1)$ y $D(3,0,-1)$? En caso afirmativo, calcula la distancia del origen de coordenadas al plano que los contiene.

Calcula el punto simétrico del punto $P(0,0,1)$ respecto del plano $\pi: x - 2y + 2z - 1 = 0$

Definición e interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.

Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \begin{cases} ax + b & \text{si } x < -1 \\ x^2 - 4x & \text{si } x \geq -1 \end{cases}$ sea continua y derivable en $x = -1$.

Calcula el área del recinto limitado por las parábolas $y = x^2 - 4x$ y $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x$.

Enunciado del teorema de Weierstrass. Si una función $f(x)$ es continua en $[a,b]$ y es estrictamente decreciente en ese intervalo, ¿dónde alcanza la función el máximo y el mínimo absoluto?

Calcula el valor de $m$ para que: $\lim_{x \to 0} \frac{mx^2 - 1 + \cos x}{\sen(x^2)} = 0$

Calcula $\int \frac{x + 5}{x^2 + 4x + 3} dx$.