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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2018

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solamente UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dado el sistema de ecuaciones {x+y=1(a−1)y+z=0x+ay+(a−1)z=a\begin{cases} x + y = 1 \\ (a - 1)y + z = 0 \\ x + ay + (a - 1)z = a \end{cases}, donde aa es un parámetro real, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los valores del parámetro aa para los cuales el sistema es compatible.5 pts
b
Las soluciones del sistema cuando a=1a = 1.3 pts
c
La solución del sistema cuando a=0a = 0.2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se tienen el plano π:x−y+z−3=0\pi : x - y + z - 3 = 0, la recta s:{x−2y=0z=0s : \begin{cases} x - 2y = 0 \\ z = 0 \end{cases} y el punto P(1,1,1)P(1,1,1). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La recta que pasa por PP, corta a la recta ss y es paralela al plano π\pi.4 pts
b
El plano que pasa por PP, es perpendicular al plano π\pi y paralelo a la recta ss.3 pts
c
Discute si el punto (3,2,1)(3,2,1) está en la recta paralela a ss que pasa por (5,3,1)(5,3,1).3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Consideramos la función f(x)=ax3+bx2+cxcos⁡(πx)f(x) = ax^3 + bx^2 + cx \cos(\pi x), que depende de los parámetros a,b,ca, b, c. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La relación entre los coeficientes a,b,ca, b, c sabiendo que f(x)f(x) toma el valor 2222 cuando x=1x = 1.2 pts
b
La relación que deben verificar los coeficientes a,ba, b y cc para que sea horizontal la recta tangente a la curva y=f(x)y = f(x) en el punto PP de dicha curva, sabiendo que la abscisa del punto PP es x=1x = 1.4 pts
c
∫01xcos⁡(πx)dx\int_{0}^{1} x \cos(\pi x) dx4 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Resolver los siguientes apartados, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Dadas AA y BB, matrices cuadradas del mismo orden tales que AB=AAB = A y BA=BBA = B, deducir que A2=AA^2 = A y B2=BB^2 = B.4 pts
b
Dada la matriz A=(1000)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, se pide encontrar los parámetros a,ba, b para que la matriz B=(a01b)B = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix} cumpla que B2=BB^2 = B pero AB≠AAB \neq A y BA≠BBA \neq B.2 pts
c
Sabiendo que ∣x10y21z32∣=3\begin{vmatrix} x & 1 & 0 \\ y & 2 & 1 \\ z & 3 & 2 \end{vmatrix} = 3, obtener razonadamente el valor de los determinantes:∣2x102y212z32∣y∣x+110y+321z+532∣\begin{vmatrix} 2x & 1 & 0 \\ 2y & 2 & 1 \\ 2z & 3 & 2 \end{vmatrix} \quad \text{y} \quad \begin{vmatrix} x + 1 & 1 & 0 \\ y + 3 & 2 & 1 \\ z + 5 & 3 & 2 \end{vmatrix}4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dada la recta r:{x+y=3x+4y−z=8r : \begin{cases} x + y = 3 \\ x + 4y - z = 8 \end{cases} se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Las ecuaciones paramétricas de la recta rr.3 pts
b
La ecuación del plano π\pi que es paralelo a rr y pasa por los puntos (5,0,1)(5,0,1) y (4,1,0)(4,1,0).4 pts
c
La distancia entre la recta rr y el plano π\pi obtenido en el apartado anterior.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dentro de una cartulina rectangular se desea hacer un dibujo que ocupe un rectángulo RR de 600 cm2600\,\text{cm}^2 de área de manera que: por encima y por debajo de RR deben quedar unos márgenes de 3 cm3\,\text{cm} de altura cada uno; los márgenes a izquierda y a derecha de RR deben tener una anchura de 2 cm2\,\text{cm} cada uno. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El área de la cartulina en función de la base xx del rectángulo RR.3 pts
b
El valor de xx para el cual el área de la cartulina es mínima.5 pts
c
Las dimensiones de dicha cartulina de área mínima.2 pts
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