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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2018

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Dado el sistema de ecuaciones {x+y=1(a−1)y+z=0x+ay+(a−1)z=a\begin{cases} x + y = 1 \\ (a - 1)y + z = 0 \\ x + ay + (a - 1)z = a \end{cases}, donde aa es un parámetro real, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)5 pts
Los valores del parámetro aa para los cuales el sistema es compatible.
b)3 pts
Las soluciones del sistema cuando a=1a = 1.
c)2 pts
La solución del sistema cuando a=0a = 0.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Resolver los siguientes apartados, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
Dadas AA y BB, matrices cuadradas del mismo orden tales que AB=AAB = A y BA=BBA = B, deducir que A2=AA^2 = A y B2=BB^2 = B.
b)2 pts
Dada la matriz A=(1000)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, se pide encontrar los parámetros a,ba, b para que la matriz B=(a01b)B = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix} cumpla que B2=BB^2 = B pero AB≠AAB \neq A y BA≠BBA \neq B.
c)4 pts
Sabiendo que ∣x10y21z32∣=3\begin{vmatrix} x & 1 & 0 \\ y & 2 & 1 \\ z & 3 & 2 \end{vmatrix} = 3, obtener razonadamente el valor de los determinantes: ∣2x102y212z32∣y∣x+110y+321z+532∣\begin{vmatrix} 2x & 1 & 0 \\ 2y & 2 & 1 \\ 2z & 3 & 2 \end{vmatrix} \quad \text{y} \quad \begin{vmatrix} x + 1 & 1 & 0 \\ y + 3 & 2 & 1 \\ z + 5 & 3 & 2 \end{vmatrix}
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Se tienen el plano π:x−y+z−3=0\pi : x - y + z - 3 = 0, la recta s:{x−2y=0z=0s : \begin{cases} x - 2y = 0 \\ z = 0 \end{cases} y el punto P(1,1,1)P(1,1,1). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
La recta que pasa por PP, corta a la recta ss y es paralela al plano π\pi.
b)3 pts
El plano que pasa por PP, es perpendicular al plano π\pi y paralelo a la recta ss.
c)3 pts
Discute si el punto (3,2,1)(3,2,1) está en la recta paralela a ss que pasa por (5,3,1)(5,3,1).
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Dada la recta r:{x+y=3x+4y−z=8r : \begin{cases} x + y = 3 \\ x + 4y - z = 8 \end{cases} se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
Las ecuaciones paramétricas de la recta rr.
b)4 pts
La ecuación del plano π\pi que es paralelo a rr y pasa por los puntos (5,0,1)(5,0,1) y (4,1,0)(4,1,0).
c)3 pts
La distancia entre la recta rr y el plano π\pi obtenido en el apartado anterior.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Consideramos la función f(x)=ax3+bx2+cxcos⁡(πx)f(x) = ax^3 + bx^2 + cx \cos(\pi x), que depende de los parámetros a,b,ca, b, c. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)2 pts
La relación entre los coeficientes a,b,ca, b, c sabiendo que f(x)f(x) toma el valor 2222 cuando x=1x = 1.
b)4 pts
La relación que deben verificar los coeficientes a,ba, b y cc para que sea horizontal la recta tangente a la curva y=f(x)y = f(x) en el punto PP de dicha curva, sabiendo que la abscisa del punto PP es x=1x = 1.
c)4 pts
∫01xcos⁡(πx)dx\int_{0}^{1} x \cos(\pi x) dx
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Dentro de una cartulina rectangular se desea hacer un dibujo que ocupe un rectángulo RR de 600 cm2600\,\text{cm}^2 de área de manera que: por encima y por debajo de RR deben quedar unos márgenes de 3 cm3\,\text{cm} de altura cada uno; los márgenes a izquierda y a derecha de RR deben tener una anchura de 2 cm2\,\text{cm} cada uno. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
El área de la cartulina en función de la base xx del rectángulo RR.
b)5 pts
El valor de xx para el cual el área de la cartulina es mínima.
c)2 pts
Las dimensiones de dicha cartulina de área mínima.
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