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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2019

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dados la recta rr y el plano π\pi de ecuaciones:r:{2x+2y+2z=2−x−2y+z=0π≡ax+y+z−b=0r: \begin{cases} 2x + 2y + 2z = 2 \\ -x - 2y + z = 0 \end{cases} \quad \pi \equiv ax + y + z - b = 0
a
Determina aa y bb para que el plano π\pi contenga a la recta rr.
b
Determina aa y bb para que rr sea paralela al plano π\pi.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
La distribución del número de rapes capturados por los barcos pesqueros que salen a faenar en una cierta zona se ajusta a una normal de media 220220. Se sabe que, tomando un barco al azar la probabilidad de que capture más de 250250 es 0,15870{,}1587.
a
Calcula la desviación típica de la distribución.
b
Calcula el número de rapes que un barco debe capturar para estar en el percentil 9595.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida como:f(x)={cos⁡x,x≤0−x2+ax+b,x>0f(x) = \begin{cases} \cos x, & x \leq 0 \\ -x^2 + ax + b, & x > 0 \end{cases}con aa y bb números reales.
a
Halla aa y bb para que ff sea continua y derivable en x=0x = 0.
b
Para los valores anteriores de aa y bb analiza si ff tiene un extremo relativo en x=0x = 0.
c
Halla el área encerrada por la función y el eje OXOX en el intervalo [−π/2,1][-\pi/2, 1].
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Sea aa un parámetro real cualquiera. Considere la matriz:A=(11a1a1a11)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}
a
Determina para qué valores del parámetro aa existe la inversa de la matriz AA.
b
Discute el sistema de ecuaciones A(xyz)=(111)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} para los distintos valores del parámetro aa.
c
Resuelve el sistema de ecuaciones cuando sea compatible.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Sean el plano π≡2x+y−z−3=0\pi \equiv 2x + y - z - 3 = 0 y la recta r:{x=3−λy=2+λz=1−3λr: \begin{cases} x = 3 - \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 1 - 3\lambda \end{cases}.
a
Determina la ecuación de la recta ss que contiene al punto P=(1,2,−1)P = (1, 2, -1), es perpendicular a la recta rr y paralela al plano π\pi.
b
Halla la distancia de la recta ss al plano π\pi.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se tienen tres urnas: A, B y C. La urna A contiene dos bolas blancas y tres negras, la B tres bolas blancas y dos negras, la C cuatro bolas blancas y una negra. Se lanza un dado y se toman dos bolas de una urna: de la urna A si sale un 1, 2 ó 3, de la urna B si sale un 4 ó 5 y de la urna C si sale un 6.
a
Calcula la probabilidad de obtener dos bolas blancas.
b
Suponiendo que las dos bolas extraídas son blancas, calcula la probabilidad de que se hayan extraído de la primera urna.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida como:f(x)={cos⁡x,x≤0−x2+ax+b,x>0f(x) = \begin{cases} \cos x, & x \leq 0 \\ -x^2 + ax + b, & x > 0 \end{cases}con aa y bb números reales.
a
Halla aa y bb para que ff sea continua y derivable en x=0x = 0.
b
Para los valores anteriores de aa y bb analiza si ff tiene un extremo relativo en x=0x = 0.
c
Halla el área encerrada por la función y el eje OXOX en el intervalo [−π/2,1][-\pi/2, 1].
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Sea aa un parámetro real cualquiera. Considere la matriz:A=(11a1a1a11)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}
a
Determina para qué valores del parámetro aa existe la inversa de la matriz AA.
b
Discute el sistema de ecuaciones A(xyz)=(111)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} para los distintos valores del parámetro aa.
c
Resuelve el sistema de ecuaciones cuando sea compatible.
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