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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2012

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c, calcula los parámetros a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} sabiendo que: la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisa x=−1x = -1 tiene pendiente −3-3 y f(x)f(x) tiene un punto de inflexión de coordenadas (1,2)(1, 2).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Esboza la región encerrada entre la parábola f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 y la recta g(x)=5−xg(x) = 5 - x.0,5 pts
b
Calcula el área de la región anterior.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R} {x+y+z=0x+2y+3z=0mx+(m+1)y+(m−1)z=m−23x+(m+3)y+4z=m−2\left\{ \begin{array}{r c c c c c c} x & + & y & + & z & = & 0 \\ x & + & 2 y & + & 3 z & = & 0 \\ m x & + & (m + 1) y & + & (m - 1) z & = & m - 2 \\ 3 x & + & (m + 3) y & + & 4 z & = & m - 2 \end{array} \right.1,5 pts
b
Calcula la solución cuando el sistema sea compatible determinado.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano π≡x−y+3z=−3\pi \equiv x - y + 3z = -3 con los ejes de coordenadas.1,25 pts
b
Si llamamos AA, BB y CC a los vértices del triángulo del apartado anterior, encuentra el valor del parámetro λ∈R\lambda \in \mathbb{R} para que el tetraedro de vértices AA, BB, CC y D(−λ2,2+λ,−3)D(-\lambda^2, 2+\lambda, -3) tenga volumen mínimo.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
La concentración (en %) de nitrógeno de un compuesto viene dada, en función del tiempo t∈[0,+∞)t \in [0, +\infty) medido en segundos, por la función N(t)=601+2e−t.N(t) = \frac{60}{1 + 2 e^{-t}}.
a
Comprueba que la concentración de nitrógeno crece con el tiempo. ¿Para qué t∈[0,+∞)t \in [0, +\infty) la concentración de nitrógeno es mínima y cuál es esta concentración?1,25 pts
b
¿A qué valor tiende la concentración de nitrógeno cuando el tiempo tiende a infinito?1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula las siguientes integrales: ∫14+9x2dx∫(tan⁡x+1tan⁡x)dx\int \frac{1}{4 + 9 x^2} dx \qquad \int \left(\tan x + \frac{1}{\tan x}\right) dx
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Sean AA y BB matrices cuadradas de orden n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥2n \geq 2, tales que BB es la inversa de AA: • Si ∣A∣=3|A| = 3, razona cuánto vale ∣B∣|B|. • ¿Cuál es el rango de BB?0,75 pts
b
Calcula el determinante de la matriz cuadrada XX de orden 3 que verifica (1−28010−3070)⋅X=(100030007)\left( \begin{array}{c c c} 1 & -2 & 8 \\ 0 & 10 & -3 \\ 0 & 7 & 0 \end{array} \right) \cdot X = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right)1,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados el plano π≡2x−z=6\pi \equiv 2x - z = 6 y la recta r≡{y+z=0x−y+az=4r \equiv \left\{ \begin{array}{c} y + z = 0 \\ x - y + a z = 4 \end{array} \right.
a
Encuentra el valor del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} para que π\pi y rr sean paralelos.1,25 pts
b
Para el valor de aa del apartado anterior, da la ecuación general del plano π′\pi' que contiene a rr y es perpendicular a π\pi.1,25 pts
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