Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2019

Estudia la continuidad en todo $\mathbb{R}$ de la función $f(x) = \frac{2x^3 - x^2 - x}{x^2 - 1}$ indicando los tipos de discontinuidad que aparecen.

Calcula las coordenadas de los extremos relativos de la función $g(x) = xe^{-x}$.

Demuestra que la ecuación $\sen x - 2x + 1 = 0$ tiene al menos una solución real en el intervalo $[0, \pi]$.

Calcula razonadamente el número exacto de soluciones de la ecuación anterior cuando $x \in [-200, 200]$.

Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = 16 - x^2$ y $g(x) = (x + 2)^2 - 4$.

Encuentra razonadamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = 16 - x^2$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\left. \begin{array}{rcccl} x & - & (a - 2)y & - & z = 1 \\ x & - & 2y & + & z = -4 \\ x & - & 3y & + & az = -a^2 \end{array} \right\}$$

Resuélvelo razonadamente para el valor $a = 3$.

Calcula razonadamente el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$.

Para $a = 1$ calcula razonadamente la matriz $X$ que verifica que $X \cdot A = B - X$.

Determina razonadamente la posición relativa de $r$ y $\pi$.

Encuentra razonadamente la ecuación general del plano perpendicular al plano $\pi$ y que contiene a la recta $r$.

Dados los vectores $\vec{u} = (-1, 0, -2)$, $\vec{v} = (a, b, 1)$ y $\vec{w} = (2, 5, c)$, halla razonadamente el valor de $a, b$ y $c$ para que los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean ortogonales y para que el vector $\vec{w}$ sea igual al producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

Determina razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $P(-1, 3, 1)$ y es perpendicular al plano $\pi \equiv x + y + 2z - 3 = 0$. Comprueba si los puntos $Q(1, 5, 5)$ y $R(0, 4, 2)$ pertenecen o no a la recta.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio cuyas probabilidades son $P(A) = 0{,}75$ y $P(B) = 0{,}35$. Calcula razonadamente las probabilidades que deben asignarse a los sucesos $A \cup B$ y $A \cap B$ en cada uno de los siguientes casos:

El $1\%$ de los cheques que recibe un banco no tienen fondos. Razona la respuesta de las siguientes preguntas:

En la sala de pediatría de un hospital el $70\%$ de los pacientes son niñas. De los niños el $40\%$ son menores de 36 meses y de las niñas el $30\%$ tienen menos de 36 meses. Un pediatra entra en la sala y selecciona un paciente al azar. Calcula razonadamente la probabilidad de:

En una de las pruebas de acceso al cuerpo de ingenieros de la Administración Pública se realiza un test de 100 ítems a 450 opositores. Cada ítem vale un punto y se supera la prueba si se obtienen al menos 75 puntos. Suponiendo que las puntuaciones obtenidas por los opositores siguen una distribución normal de media 60 puntos y desviación típica 10 puntos, calcula razonadamente: