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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2019

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla binomial, tabla N(0,1) como anexo. El estudiante deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Dentro de cada opción el estudiante elegirá cuatro ejercicios entre los cinco propuestos. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos. Duración de la prueba: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Estudia la continuidad en todo R\mathbb{R} de la función f(x)=2x3−x2−xx2−1f(x) = \frac{2x^3 - x^2 - x}{x^2 - 1} indicando los tipos de discontinuidad que aparecen.1,5 pts
b
Calcula las coordenadas de los extremos relativos de la función g(x)=xe−xg(x) = xe^{-x}.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones f(x)=16−x2f(x) = 16 - x^2 y g(x)=(x+2)2−4g(x) = (x + 2)^2 - 4.1,5 pts
b
Encuentra razonadamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=16−x2f(x) = 16 - x^2 en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}:x−(a−2)y−z=1x−2y+z=−4x−3y+az=−a2}\left. \begin{array}{rcccl} x & - & (a - 2)y & - & z = 1 \\ x & - & 2y & + & z = -4 \\ x & - & 3y & + & az = -a^2 \end{array} \right\}1,5 pts
b
Resuélvelo razonadamente para el valor a=3a = 3.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dada la recta r≡x−1−1=y1=z2r \equiv \frac{x - 1}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2} y el plano π≡{x=1+λ+μy=λ−μz=−1+2λλ,μ∈R\pi \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda + \mu \\ y = \lambda - \mu \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases} \quad\allowbreak \lambda, \mu \in \mathbb{R}.
a
Determina razonadamente la posición relativa de rr y π\pi.1,25 pts
b
Encuentra razonadamente la ecuación general del plano perpendicular al plano π\pi y que contiene a la recta rr.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
a
Sean AA y BB dos sucesos de un experimento aleatorio cuyas probabilidades son P(A)=0,75P(A) = 0{,}75 y P(B)=0,35P(B) = 0{,}35. Calcula razonadamente las probabilidades que deben asignarse a los sucesos A∪BA \cup B y A∩BA \cap B en cada uno de los siguientes casos:1,25 pts
a1
Si AA y BB fuesen independientes.0,75 pts
a2
Si P(A∣B)=0,6P(A \mid B) = 0{,}6.0,5 pts
b
El 1%1\% de los cheques que recibe un banco no tienen fondos. Razona la respuesta de las siguientes preguntas:1,25 pts
b1
Si en una hora recibe cinco cheques, ¿cuál es la probabilidad de que tenga algún cheque sin fondos? Redondea el resultado a la centésima.0,75 pts
b2
El banco dispone de cinco sucursales en una ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que al menos tres sucursales de esa ciudad reciban algún cheque sin fondos?0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Demuestra que la ecuación sen⁡x−2x+1=0\sen x - 2x + 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0,π][0, \pi].1,5 pts
b
Calcula razonadamente el número exacto de soluciones de la ecuación anterior cuando x∈[−200,200]x \in [-200, 200].1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula razonadamente las siguientes integrales:
a
∫01(x+1)e−x dx\int_{0}^{1} (x + 1)e^{-x} \, dx1,25 pts
b
∫1x(1+x) dx\int \frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)} \, dx1,25 pts
Datos
  • En la integral b) puede ayudarte hacer el cambio de variable t=xt = \sqrt{x}
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(a0001a10a+2)yB=(101010)A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & a + 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
a
Calcula razonadamente el rango de la matriz AA según los valores del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}.1 pt
b
Para a=1a = 1 calcula razonadamente la matriz XX que verifica que X⋅A=B−XX \cdot A = B - X.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Dados los vectores u⃗=(−1,0,−2)\vec{u} = (-1, 0, -2), v⃗=(a,b,1)\vec{v} = (a, b, 1) y w⃗=(2,5,c)\vec{w} = (2, 5, c), halla razonadamente el valor de a,ba, b y cc para que los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} sean ortogonales y para que el vector w⃗\vec{w} sea igual al producto vectorial de u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.1,5 pts
b
Determina razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(−1,3,1)P(-1, 3, 1) y es perpendicular al plano π≡x+y+2z−3=0\pi \equiv x + y + 2z - 3 = 0. Comprueba si los puntos Q(1,5,5)Q(1, 5, 5) y R(0,4,2)R(0, 4, 2) pertenecen o no a la recta.1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
a
En la sala de pediatría de un hospital el 70%70\% de los pacientes son niñas. De los niños el 40%40\% son menores de 36 meses y de las niñas el 30%30\% tienen menos de 36 meses. Un pediatra entra en la sala y selecciona un paciente al azar. Calcula razonadamente la probabilidad de:1,25 pts
a1
Que no tenga menos de 36 meses.0,75 pts
a2
Si el paciente resulta ser menor de 36 meses, que sea niña.0,5 pts
b
En una de las pruebas de acceso al cuerpo de ingenieros de la Administración Pública se realiza un test de 100 ítems a 450 opositores. Cada ítem vale un punto y se supera la prueba si se obtienen al menos 75 puntos. Suponiendo que las puntuaciones obtenidas por los opositores siguen una distribución normal de media 60 puntos y desviación típica 10 puntos, calcula razonadamente:1,25 pts
b1
La probabilidad de obtener 75 o más puntos.0,75 pts
b2
El número de opositores que obtuvieron menos de 75 puntos.0,5 pts
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