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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2016

4 ejercicios

Instrucciones

OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la siguiente matriz A=(sen⁡αcos⁡α0cos⁡α−sen⁡α0001)A = \begin{pmatrix} \sen \alpha & \cos \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sen \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Calcule el determinante de AA.1 pt
b
Calcule las potencias sucesivas A2,A3,A4A^2, A^3, A^4 y A5A^5. Calcule A2016A^{2016}.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Los puntos P=(1,1,1)P = (1, 1, 1), Q=(2,2,2)Q = (2, 2, 2) y R=(1,3,3)R = (1, 3, 3) son tres vértices consecutivos del siguiente paralelogramo:
Paralelogramo con vértices etiquetados P, Q, R y S.
a
Calcule el área del paralelogramo.1,25 pts
b
Determine el cuarto vértice del paralelogramo.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la función f(x)=e2x1+x2f(x) = e^{\frac{2x}{1 + x^2}} se pide:
a
Estudie las asíntotas de la gráfica de f(x)f(x).1 pt
b
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos de la función.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule la siguiente integral indefinida ∫ex(1+ex)2dx\int \frac{e^x}{(1 + e^x)^2} dx.1,5 pts
b
Determine el valor de a>0a > 0 para que ∫0aex(1+ex)2dx=14\int_0^a \frac{e^x}{(1 + e^x)^2} dx = \frac{1}{4}.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sabiendo que ∣xyz101246∣=2\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 6 \end{vmatrix} = 2, calcule razonadamente los siguientes determinantes:
a
∣3013x2yz686∣\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3x & 2y & z \\ 6 & 8 & 6 \end{vmatrix}1 pt
b
∣2+x4+y6+z3x−13y3z−1101∣\begin{vmatrix} 2 + x & 4 + y & 6 + z \\ 3x - 1 & 3y & 3z - 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere el plano π\pi que pasa por el punto P=(2,0,1)P = (2, 0, 1) y tiene como vectores directores los vectores v⃗=(1,0,2)\vec{v} = (1, 0, 2) y w⃗=(0,1,−2)\vec{w} = (0, 1, -2). Considere la recta rr dada por r:x2=y+13=z1r: \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{1}
a
Estudie la posición relativa de π\pi y rr.1,25 pts
b
Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto Q=(−1,0,−2)Q = (-1, 0, -2), es paralela a π\pi y perpendicular a rr.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la función dada por f(x)={a+ln⁡(1−x)si x<0x2e−xsi x≥0f(x) = \begin{cases} a + \ln(1 - x) & \text{si } x < 0 \\ x^2 e^{-x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
a
Calcule lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x) y lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).1,5 pts
b
Determine el valor de aa para que la función sea continua en todo R\mathbb{R}.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule la siguiente integral indefinida ∫x3+x+1x2+1dx\int \frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1} dx.1,5 pts
b
Obtenga una primitiva F(x)F(x) de la función f(x)=x3+x+1x2+1f(x) = \frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1} que cumpla la condición F(0)=2F(0) = 2.1 pt
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