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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2016

4 ejercicios

Instrucciones

Instrucciones: El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se quiere construir un depósito de chapa abierto superiormente con forma de prisma recto de base cuadrada, de 1000 m31000\,\text{m}^3 de capacidad, lo más económico posible. Sabiendo que: - El coste de la chapa usada para los laterales es de 100 euros el metro cuadrado. - El coste de la chapa usada para la base es de 200 euros el metro cuadrado. ¿Qué dimensiones debe tener el depósito? ¿Cuál es el precio de dicho depósito?
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la función g(x)=(x+b)cos⁡x,b∈R.g(x) = (x + b) \cos x, \qquad b \in \mathbb{R}.
a
Calcula la primitiva G(x)G(x) de g(x)g(x) que verifica que G(0)=1G(0) = 1.1,25 pts
b
Calcula el valor de b∈Rb \in \mathbb{R} sabiendo que lim⁡x→0G(x)−g′(x)x=−2.\lim_{x \rightarrow 0} \frac{G(x) - g'(x)}{x} = -2.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(10−11),B=(1000100−11),C=(123−12−3)yD=(312010)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad D = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
a
¿Qué dimensión debe tener una matriz XX para poder efectuar el producto matricial AXBAXB?0,5 pts
b
Despeja XX en la ecuación matricial A⋅X⋅B+C=DA \cdot X \cdot B + C = D.1 pt
c
Calcula la matriz XX.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dadas las rectas r≡2−x=y−2=z3ys≡{x=−1+2λy=−1+λz=c−3λλ∈Rr \equiv 2 - x = y - 2 = \frac{z}{3} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = c - 3\lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R} donde c∈Rc \in \mathbb{R}, se pide:
a
Estudiar la posición relativa de rr y ss en función del parámetro c∈Rc \in \mathbb{R}.1,5 pts
b
Hallar el punto de intersección de rr y ss cuando dichas rectas sean secantes.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función f(x)=2xe1−xf(x) = 2xe^{1-x} se pide:
a
Estudiar si tiene asíntotas horizontales.1,25 pts
b
Calcular sus puntos de inflexión.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dadas las funciones f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} y g(x)=3−xg(x) = 3 - x, se pide:
a
Esbozar la región encerrada entre las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x).0,5 pts
b
Calcular el área de la región anterior.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Enuncia el Teorema de Rouché-Frobenius.0,5 pts
b
Razona que un sistema de tres ecuaciones lineales con cuatro incógnitas no puede ser compatible determinado.0,5 pts
c
Determina para qué valores del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} el sistema {2x+3y−z+2t=25x+y+2z=1x+8y−5z+6t=a\begin{cases} 2x + 3y - z + 2t = 2 \\ 5x + y + 2z = 1 \\ x + 8y - 5z + 6t = a \end{cases} es incompatible.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados los planos π≡2x−3y+z=0yπ′≡{x=1+λ+μy=λ−μz=2+2λ+μλ,μ∈R\pi \equiv 2x - 3y + z = 0 \qquad \text{y} \qquad \pi' \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda + \mu \\ y = \lambda - \mu \\ z = 2 + 2\lambda + \mu \end{cases} \qquad \lambda, \mu \in \mathbb{R} y el punto P(2,−3,0)P(2, -3, 0), se pide:
a
Hallar la ecuación continua de la recta rr que pasa por PP y es paralela a la recta ss determinada por la intersección de π\pi y π′\pi'.1,5 pts
b
Calcular el ángulo entre los planos π\pi y π′\pi'.1 pt
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