Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2016

Se quiere construir un depósito de chapa abierto superiormente con forma de prisma recto de base cuadrada, de $1000\,\text{m}^3$ de capacidad, lo más económico posible. Sabiendo que: - El coste de la chapa usada para los laterales es de 100 euros el metro cuadrado. - El coste de la chapa usada para la base es de 200 euros el metro cuadrado. ¿Qué dimensiones debe tener el depósito? ¿Cuál es el precio de dicho depósito?

Dada la función $$f(x) = 2xe^{1-x}$$ se pide:

Dada la función $$g(x) = (x + b) \cos x, \qquad b \in \mathbb{R}.$$

Dadas las funciones $f(x) = \frac{2}{x}$ y $g(x) = 3 - x$, se pide:

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad D = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Dadas las rectas $$r \equiv 2 - x = y - 2 = \frac{z}{3} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = c - 3\lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$ donde $c \in \mathbb{R}$, se pide:

Dados los planos $$\pi \equiv 2x - 3y + z = 0 \qquad \text{y} \qquad \pi' \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda + \mu \\ y = \lambda - \mu \\ z = 2 + 2\lambda + \mu \end{cases} \qquad \lambda, \mu \in \mathbb{R}$$ y el punto $P(2, -3, 0)$, se pide: