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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación: Las preguntas 1a1^a y 2a2^a se valorarán sobre 3 puntos; las preguntas 3a3^a y 4a4^a sobre 2 puntos. Tiempo: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales:{−mx+my+z=0x−my+3z=42x−2y−z=0\begin{cases} -mx + my + z = 0 \\ x - my + 3z = 4 \\ 2x - 2y - z = 0 \end{cases}se pide:
a
Discutirlo según los valores del parámetro mm.2 pts
b
Resolverlo en el caso m=0m = 0.0,5 pts
c
Resolverlo en el caso m=2m = 2.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
La recta rr pasa por P(2,−1,0)P(2, -1, 0) y tiene vector director (1,λ,−2)(1, \lambda, -2); la recta ss pasa por Q(1,0,−1)Q(1, 0, -1) y tiene vector director (2,4,2)(2, 4, 2).
a
Calcular λ>0\lambda > 0 para que la distancia entre rr y ss sea 959\frac{9}{\sqrt{59}}.2 pts
b
Calcular λ\lambda para que rr sea perpendicular a la recta que pasa por PP y QQ.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea la función f(x)=1+2x+3x2+4x3f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3.
a
Estudiar el crecimiento de la función f(x)f(x).0,5 pts
b
Demostrar que la ecuación 1+2x+3x2+4x3=01 + 2x + 3x^2 + 4x^3 = 0 tiene una única solución real y localizar un intervalo de longitud 1 que la contenga.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sea la expresión (1−x)e−x(1 - x)e^{-x}.
a
Calcular la integral definida ∫14(1−x)e−xdx\int_{1}^{4} (1 - x)e^{-x} dx.1 pt
b
Calcular lim⁡x→+∞(1−x)e−x\lim_{x \to +\infty} (1 - x)e^{-x} y lim⁡x→−∞(1−x)e−x\lim_{x \to -\infty} (1 - x)e^{-x}.1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la funciónf(x)={a+xln⁡(x),si x>0x2ex,si x≤0f(x) = \begin{cases} a + x \ln(x), & \text{si } x > 0 \\ x^2 e^x, & \text{si } x \leq 0 \end{cases}(donde ln⁡\ln denota logaritmo neperiano y aa es un número real) se pide:
a
Calcular el valor de aa para que f(x)f(x) sea continua en todo R\mathbb{R}.1 pt
b
Calcular f′(x)f'(x) donde sea posible.1 pt
c
Calcular ∫−10f(x)dx\int_{-1}^{0} f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dados los puntos P(−1,−1,1)P(-1, -1, 1), Q(1,0,2)Q(1, 0, 2) y los planosπ1≡x−z=0,π2≡my−6z=0,π3≡x+y−mz=0,\pi_1 \equiv x - z = 0, \quad \pi_2 \equiv my - 6z = 0, \quad \pi_3 \equiv x + y - mz = 0,se pide:
a
Calcular los valores de mm para los que los tres planos se cortan en una recta.1 pt
b
Para m=3m = 3, hallar la ecuación del plano que contiene al punto PP y es perpendicular a la recta de intersección de los planos π1\pi_1 y π2\pi_2.1 pt
c
Hallar la distancia entre los puntos QQ y P′P', siendo P′P' el punto simétrico de PP respecto al plano π1\pi_1.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sabiendo que ∣abcdef123∣=3\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 y usando las propiedades de los determinantes, calcular el valor de los siguientes determinantes:
a
∣2a−2bc5b2d−2ef5e−2310∣\begin{vmatrix} 2a - 2b & c & 5b \\ 2d - 2e & f & 5e \\ -2 & 3 & 10 \end{vmatrix}1 pt
b
∣a−1b−22c−62412de2f∣\begin{vmatrix} a - 1 & b - 2 & 2c - 6 \\ 2 & 4 & 12 \\ d & e & 2f \end{vmatrix}1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dada la matriz A=(3110)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, hallar todas las matrices B=(abcd)B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} que conmutan con AA, es decir que cumplen AB=BAAB = BA.
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