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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2018Ordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2018

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. a) Responde solo a una de las dos opciones (OPCIÓN A/ OPCIÓN B). b) No está permitido el uso de calculadoras gráficas o programables.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Parte A1
Consideramos la función f(x)=x(x+a)x2−4f(x) = \frac{x(x + a)}{x^2 - 4}, donde aa es un cierto parámetro real.
a
Determinar el valor de aa si la recta tangente en x=0x = 0 es paralela a la recta y=x4+2018y = \frac{x}{4} + 2018. Dar la ecuación de la recta tangente en x=0x = 0 para el valor obtenido de aa.1 pt
b
Tomando a=2a = 2, determinar las asíntotas de f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Parte A1
La productora cinematográfica Filmtropía va a rodar tres películas familiares en los próximos meses. En cada una de ellas debe contratar actores, actrices e intérpretes infantiles. Cada día de rodaje tiene presupuestada una cantidad fija de dinero para pago de honorarios a los intérpretes. El número de actores y actrices es conocido pero el número de intérpretes infantiles es un valor tt que puede variar. Las retribuciones de los actores y actrices se fijarán en función del número de intérpretes infantiles que se contraten. La distribución de intérpretes por película y el presupuesto diario aparecen en la tabla adjunta.
Película unoPelícula dosPelícula tres
Actores242
Actrices143
Intépretes infantilestt3t−23t-22t−12t-1
Presupuesto diario (en miles de euros)174027
a
Plantea un sistema de ecuaciones que permita determinar los honorarios de cada intérprete por día de trabajo.0,5 pts
b
Determina dichos honorarios.1 pt
c
Como criterio para fijar el número de intérpretes infantiles se ha decidido que los actores y actrices deben cobrar lo mismo por cada día de trabajo. ¿Cuál será el número de intérpretes infantiles de cada película?0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Parte A1
En una fábrica de calzado de Arnedo, la producción diaria de pares de zapatos sigue una distribución normal con una desviación típica de 200200 pares.
a
Si la media de la producción fuese de 12001200 pares de zapatos, ¿cuál sería la probabilidad de que la producción media de una muestra de 3636 días superase los 12551255 pares de zapatos?1 pt
b
Si una muestra de 100100 días de trabajo en la fábrica tiene una media de 11801180 pares de zapatos, determinar un intervalo de confianza al 85%85\% para la media de la producción.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas (A2.1, A2.2, A2.3).

Consideramos un rectángulo cuyos lados miden xx e yy.
a
Encontrar el rectángulo de perímetro mínimo, si las longitudes de los lados del rectángulo verifican la relación xy2=4xy^2 = 4.1 pt
b
Encontrar el rectángulo de área máxima, si las longitudes de los lados del rectángulo verifican la relación x+3y2=1x + 3y^2 = 1.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas (A2.1, A2.2, A2.3).

Consideremos la matriz A=(3a+22(a+1)−(a+1)−1)A = \begin{pmatrix} 3a + 2 & 2(a + 1) \\ -(a + 1) & -1 \end{pmatrix}
a
Determinar los valores de aa para los que existe la matriz inversa A−1A^{-1}.1 pt
b
Tomando a=1a = 1, determinar una matriz XX tal que A⋅X=3⋅At+A−3⋅I2A \cdot X = 3 \cdot A^t + A - 3 \cdot I_2. (Nota: AtA^t indica la matriz traspuesta de la matriz AA e I2I_2 la matriz identidad de orden dos.)1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas (A2.1, A2.2, A2.3).

De los habitantes de Logroño se sabe que tres cuartas partes han visitado en alguna ocasión San Sebastián y tres quintas partes han estado alguna vez en Zaragoza. Además, un cuarenta por ciento de los logroñeses reconoce haber visitado ambas ciudades.
a
Si mi amigo Juan, que es de Logroño, me ha dicho que el otro día estuvo comiendo en San Sebastián, ¿cuál es la probabilidad de que haya estado también en Zaragoza en alguna ocasión?1 pt
b
Luis, otro amigo mío de Logroño, es de poco viajar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya visitado ninguna de las dos ciudades?1 pt
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Parte B1
Consideramos la función f(x)=x(x+a)x2−4f(x) = \frac{x(x + a)}{x^2 - 4}, donde aa es un cierto parámetro real.
a
Determinar el valor de aa si la recta tangente en x=0x = 0 es paralela a la recta y=x4+2018y = \frac{x}{4} + 2018. Dar la ecuación de la recta tangente en x=0x = 0 para el valor obtenido de aa.1 pt
b
Tomando a=2a = 2, determinar las asíntotas de f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Parte B1
La productora cinematográfica Filmtropía va a rodar tres películas familiares en los próximos meses. En cada una de ellas debe contratar actores, actrices e intérpretes infantiles. Cada día de rodaje tiene presupuestada una cantidad fija de dinero para pago de honorarios a los intérpretes. El número de actores y actrices es conocido pero el número de intérpretes infantiles es un valor tt que puede variar. Las retribuciones de los actores y actrices se fijarán en función del número de intérpretes infantiles que se contraten. La distribución de intérpretes por película y el presupuesto diario aparecen en la tabla adjunta.
Película unoPelícula dosPelícula tres
Actores242
Actrices143
Intépretes infantilestt3t−23t-22t−12t-1
Presupuesto diario (en miles de euros)174027
a
Plantea un sistema de ecuaciones que permita determinar los honorarios de cada intérprete por día de trabajo.0,5 pts
b
Determina dichos honorarios.1 pt
c
Como criterio para fijar el número de intérpretes infantiles se ha decidido que los actores y actrices deben cobrar lo mismo por cada día de trabajo. ¿Cuál será el número de intérpretes infantiles de cada película?0,5 pts
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Parte B1
En una fábrica de calzado de Arnedo, la producción diaria de pares de zapatos sigue una distribución normal con una desviación típica de 200200 pares.
a
Si la media de la producción fuese de 12001200 pares de zapatos, ¿cuál sería la probabilidad de que la producción media de una muestra de 3636 días superase los 12551255 pares de zapatos?1 pt
b
Si una muestra de 100100 días de trabajo en la fábrica tiene una media de 11801180 pares de zapatos, determinar un intervalo de confianza al 85%85\% para la media de la producción.1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas (B2.1, B2.2, B2.3).

Sean aa y bb dos parámetros reales. Consideramos la función f(x)={−ax3+6bx2−3x,x<−1ax+b,−1≤x≤1−ax3−4bx2−3x,x>1f(x) = \begin{cases} -ax^3 + 6bx^2 - 3x, & x < -1 \\ ax + b, & -1 \leq x \leq 1 \\ -ax^3 - 4bx^2 - 3x, & x > 1 \end{cases}
a
¿Para qué valores de aa y bb es continua la función dada?1 pt
b
Tomando a=1a = 1 y b=−1b = -1 calcular ∫03f(x)dx\int_{0}^{3} f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 11

11
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas (B2.1, B2.2, B2.3).

Sean {3(y−2)≤x≤2y,2(2−y)≤x≤6−y,\begin{cases} 3(y - 2) \leq x \leq 2y, \\ 2(2 - y) \leq x \leq 6 - y, \end{cases} las restricciones asociadas a un cierto problema de optimización.
a
Dibujar la región factible asociada a las restricciones dadas, indicando claramente los vértices de la misma.1 pt
b
¿Cuál es máximo de la función f(x,y)=3x+yf(x, y) = 3x + y en la región factible?0,5 pts
c
Si aa es un cierto valor real positivo y sabemos que el máximo de la función g(x,y)=ax+3yg(x, y) = ax + 3y en la región factible es quince, ¿cuál es el valor de aa?0,5 pts
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Ejercicio 12

12
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas (B2.1, B2.2, B2.3).

En la Escuela Oficial de Idiomas de mi ciudad, hay tres aulas de primer curso de inglés. La distribución de chicos y chicas en cada aula es como se muestra en la tabla adjunta.
Aula 1Aula 2Aula 3
Chicos211616
Chicas181624
a
Determina la probabilidad de que al elegir un estudiante de primer curso sea chica.1 pt
b
Si elegimos una chica de primer curso al azar, ¿a qué aula es más probable que pertenezca?1 pt
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