Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2016

Dadas las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -3 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 0 & 3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Un aficionado a la artesanía dedica su tiempo libre a decorar botijos y jarrones. Cada mes decora un máximo de $10$ botijos y un máximo de $10$ jarrones. Dedica una hora a decorar un botijo y $2$ horas a decorar un jarrón. Puede dedicar cada mes un máximo de $24$ horas a esta afición. Vende toda su producción mensual, y cobra $6$ euros por cada botijo y $18$ euros por cada jarrón. Se propone obtener el máximo beneficio mensual posible con las condiciones mencionadas.

Cierto dulce tradicional está compuesto exclusivamente por tres ingredientes: harina de trigo, huevo y miel. El porcentaje de harina es el triple de la suma de los porcentajes de los otros dos ingredientes. Además, la diferencia entre el porcentaje de harina y el de huevo es seis veces el porcentaje de miel.

Los precios de mis tres frutos secos favoritos son: almendras a $6$ euros/kg; avellanas a $16$ euros/kg y cacahuetes a $10$ euros/kg. En el supermercado he tomado algunos kilos de cada uno de estos frutos secos y he llenado una caja de $9$ kilos, por la que he pagado $90$ euros. En esta caja, la suma de los kilos de avellanas más los de cacahuetes es igual al doble de los kilos de almendras.

Se considera la función $f(x) = \begin{cases} t^2 + t - 5x & \text{si } x \leq 1 \\ (x - 3)^2 + t & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Se considera la función $f(x) = \begin{cases} (x - t)^2 & \text{si } x < 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \\ (x - 1)^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$

De la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ sabemos que tiene un máximo relativo en el punto $(1, 2)$ y que tiene un punto de inflexión en el punto $(0, 0)$. Con estos datos, halla los valores de los parámetros $a$, $b$, $c$ y $d$.

Al comenzar el año ponemos en marcha el estudio de la evolución de la población de un tipo de insectos. Hemos llegado a la conclusión de que esa población se ajusta a la función: $f(x) = -\frac{1}{30}x^4 + \frac{2}{5}x^3 + 7$ donde $x$ está en meses, con $0 \leq x \leq 12$ y $f(x)$ está en decenas de individuos.

En una empresa de Toledo se producen dos modelos de vajillas: A y B. El $10\%$ de las vajillas son del modelo A y el $90\%$ del modelo B. La probabilidad de que una vajilla del modelo A sea defectuosa es $0{,}02$ y de que una vajilla del modelo B sea defectuosa es $0{,}01$.

Se sabe que una máquina determinada tiene una probabilidad de tener una avería de $0{,}1$. Tenemos una empresa con $4$ máquinas como las anteriores que funcionan de forma independiente.

La longitud de un determinado insecto sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 0{,}52$ centímetros. Se toma una muestra aleatoria de tamaño $40$ y se calcula la media muestral, siendo esta igual a $2{,}47$ centímetros.

Se sabe que las puntuaciones de los alumnos en la PAEG siguen una distribución normal de desviación típica $\sigma = 1$. Los siguientes datos representan las puntuaciones de $15$ alumnos elegidos al azar: $7{,}8$, $6{,}8$, $6{,}7$, $6{,}2$, $7{,}4$, $8{,}1$, $5{,}9$, $6{,}9$, $7{,}5$, $8{,}3$, $7{,}5$, $7{,}1$, $6{,}1$, $7{,}0$ y $7{,}5$.