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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2012

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones S:{2x+α2z=5x+(1−α)y+z=1x+2y+α2z=1S: \begin{cases} 2x + \alpha^2 z = 5 \\ x + (1 - \alpha)y + z = 1 \\ x + 2y + \alpha^2 z = 1 \end{cases}, donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente:
a)3 pts
La solución del sistema SS cuando α=0\alpha = 0.
b)4 pts
Todas las soluciones del sistema SS cuando α=−1\alpha = -1.
c)3 pts
El valor de α\alpha para el que el sistema SS es incompatible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Obtener razonadamente:
a)4 pts
Todas las soluciones (xyz)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} de la ecuación (1021131−11)(xyz)=(13−1)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}.
b)3 pts
El determinante de una matriz cuadrada BB de dos filas, que tiene matriz inversa y que verifica la ecuación B2=BB^2 = B.
c)3 pts
El determinante de una matriz cuadrada AA que tiene cuatro filas y que verifica la ecuación: A2−9(1000010000100001)=(0000000000000000)A^2 - 9 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} sabiendo además que el determinante de AA es positivo.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Se dan las rectas r1:{x=1+2αy=αz=2−αr_1: \begin{cases} x = 1 + 2\alpha \\ y = \alpha \\ z = 2 - \alpha \end{cases} y r2:{x=−1y=1+βz=−1−2βr_2: \begin{cases} x = -1 \\ y = 1 + \beta \\ z = -1 - 2\beta \end{cases}, siendo α\alpha y β\beta parámetros reales. Calcular razonadamente:
a)3 pts
Las coordenadas del punto de corte de r1r_1 y r2r_2.
b)4 pts
La ecuación del plano que contiene esas dos rectas.
c)3 pts
La distancia del punto (1,0,0)(1, 0, 0) a la recta r2r_2.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Se da la recta rr de ecuación r:{x−2y−2z=1x+5y−z=0r: \begin{cases} x - 2y - 2z = 1 \\ x + 5y - z = 0 \end{cases} y el plano π\pi de ecuación π:2x+y+nz=p\pi: 2x + y + nz = p, donde nn y pp son dos parámetros reales. Obtener razonadamente:
a)4 pts
Todos los valores de nn para los que la intersección de la recta rr y el plano π\pi es un punto.
b)3 pts
El valor de nn y el valor de pp para los que la recta rr está contenida en el plano π\pi.
c)3 pts
El valor de nn y todos los valores de pp para los que la recta rr no corta al plano π\pi.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Con el símbolo ln⁡x\ln x se representa el logaritmo de un número positivo xx cuando la base del logaritmo es el número ee. Sea ff la función que para un número positivo xx está definida por la igualdad f(x)=4xln⁡xf(x) = 4x \ln x Obtener razonadamente:
a)4 pts
El valor de xx donde la función ff alcanza el mínimo relativo.
b)3 pts
La ecuación de la recta tangent a la curva y=4xln⁡xy = 4x \ln x en el punto (1,0)(1, 0).
c)3 pts
El área limitada entre las rectas y=0y = 0, x=ex = e y x=2ex = 2e y la curva y=4xln⁡xy = 4x \ln x.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo TT de vértices A=(12,0)A = (12, 0), B=(−x,x2)B = (-x, x^2) y C=(x,x2)C = (x, x^2), siendo x2<12x^2 < 12.
a)2 pts
El área del triángulo TT en función de la abscisa xx del vértice CC.
b)3 pts
Las coordenadas de los vértices BB y CC para que el área del triángulo TT sea máxima.
c)3 pts
Para completar el escudo se añade al triángulo TT de área máxima la superficie SS limitada entre la recta y=4y = 4 y el arco de parábola y=x2y = x^2, cuando −2≤x≤2-2 \leq x \leq 2. Obtener razonadamente el área de la superficie SS.
d)2 pts
El área total del escudo.
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