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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2012

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica. Se prohíbe su utilización indebida (guardar fórmulas o texto en memoria). Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones S:{2x+α2z=5x+(1−α)y+z=1x+2y+α2z=1S: \begin{cases} 2x + \alpha^2 z = 5 \\ x + (1 - \alpha)y + z = 1 \\ x + 2y + \alpha^2 z = 1 \end{cases}, donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente:
a
La solución del sistema SS cuando α=0\alpha = 0.3 pts
b
Todas las soluciones del sistema SS cuando α=−1\alpha = -1.4 pts
c
El valor de α\alpha para el que el sistema SS es incompatible.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan las rectas r1:{x=1+2αy=αz=2−αr_1: \begin{cases} x = 1 + 2\alpha \\ y = \alpha \\ z = 2 - \alpha \end{cases} y r2:{x=−1y=1+βz=−1−2βr_2: \begin{cases} x = -1 \\ y = 1 + \beta \\ z = -1 - 2\beta \end{cases}, siendo α\alpha y β\beta parámetros reales. Calcular razonadamente:
a
Las coordenadas del punto de corte de r1r_1 y r2r_2.3 pts
b
La ecuación del plano que contiene esas dos rectas.4 pts
c
La distancia del punto (1,0,0)(1, 0, 0) a la recta r2r_2.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Con el símbolo ln⁡x\ln x se representa el logaritmo de un número positivo xx cuando la base del logaritmo es el número ee. Sea ff la función que para un número positivo xx está definida por la igualdad f(x)=4xln⁡xf(x) = 4x \ln xObtener razonadamente:
a
El valor de xx donde la función ff alcanza el mínimo relativo.4 pts
b
La ecuación de la recta tangent a la curva y=4xln⁡xy = 4x \ln x en el punto (1,0)(1, 0).3 pts
c
El área limitada entre las rectas y=0y = 0, x=ex = e y x=2ex = 2e y la curva y=4xln⁡xy = 4x \ln x.3 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Obtener razonadamente:
a
Todas las soluciones (xyz)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} de la ecuación (1021131−11)(xyz)=(13−1)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}.4 pts
b
El determinante de una matriz cuadrada BB de dos filas, que tiene matriz inversa y que verifica la ecuación B2=BB^2 = B.3 pts
c
El determinante de una matriz cuadrada AA que tiene cuatro filas y que verifica la ecuación: A2−9(1000010000100001)=(0000000000000000)A^2 - 9 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} sabiendo además que el determinante de AA es positivo.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se da la recta rr de ecuación r:{x−2y−2z=1x+5y−z=0r: \begin{cases} x - 2y - 2z = 1 \\ x + 5y - z = 0 \end{cases} y el plano π\pi de ecuación π:2x+y+nz=p\pi: 2x + y + nz = p, donde nn y pp son dos parámetros reales. Obtener razonadamente:
a
Todos los valores de nn para los que la intersección de la recta rr y el plano π\pi es un punto.4 pts
b
El valor de nn y el valor de pp para los que la recta rr está contenida en el plano π\pi.3 pts
c
El valor de nn y todos los valores de pp para los que la recta rr no corta al plano π\pi.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo TT de vértices A=(12,0)A = (12, 0), B=(−x,x2)B = (-x, x^2) y C=(x,x2)C = (x, x^2), siendo x2<12x^2 < 12.
a
El área del triángulo TT en función de la abscisa xx del vértice CC.2 pts
b
Las coordenadas de los vértices BB y CC para que el área del triángulo TT sea máxima.3 pts
c
Para completar el escudo se añade al triángulo TT de área máxima la superficie SS limitada entre la recta y=4y = 4 y el arco de parábola y=x2y = x^2, cuando −2≤x≤2-2 \leq x \leq 2. Obtener razonadamente el área de la superficie SS.3 pts
d
El área total del escudo.2 pts
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