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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2020Variante 2

Matemáticas II · Andalucía 2020

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sabiendo que lim⁡x→0xex−ln⁡(1+x)−(a+1)xx2\lim_{x \to 0} \frac{xe^x - \ln(1+x) - (a+1)x}{x^2} es finito, calcula aa y el valor del límite (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determina la función f:(−1,+∞)→Rf: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto (0,1)(0, 1), f′(0)=0f'(0) = 0 y f′′(x)=1x+1f''(x) = \frac{1}{x+1}.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}
a)1,75 pts
Discútelo según los valores de aa.
b)0,75 pts
Resuelve, si es posible, el sistema para a=1a = 1 y a=−2a = -2.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el punto P(1,0,−1)P(1, 0, -1) y la recta r≡{x−y+2z=5x−z=1r \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 5 \\ x - z = 1 \end{cases}
a)1,5 pts
Determina el punto simétrico de PP respecto de la recta rr.
b)1 pts
Calcula el punto de la recta rr que dista 6\sqrt{6} unidades de PP.
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=∣x∣2−xf(x) = \frac{|x|}{2-x} para x≠2x \neq 2.
a)1,25 pts
Estudia la derivabilidad de ff.
b)1,25 pts
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considera las funciones f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=−4x+2f(x) = -4x + 2 y g(x)=−x2+2x+cg(x) = -x^2 + 2x + c.
a)1 pts
Halla el valor de cc sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que gg alcanza su máximo.
b)1,5 pts
Para c=−3c = -3, calcula el área de la región limitada por ambas gráficas.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Considera la matriz A=(−12−3232−12)A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}
a)1,5 pts
Calcula A37A^{37} y A41A^{41}.
b)1 pts
Halla el determinante de la matriz 3A52(At)43A^{52}(A^t)^4, donde AtA^t es la matriz traspuesta de AA.
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Considera los vectores u⃗=(2,1,0)\vec{u} = (2, 1, 0), v⃗=(1,0,−1)\vec{v} = (1, 0, -1) y w⃗=(a,b,1)\vec{w} = (a, b, 1).
a)1,5 pts
Halla aa y bb sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que w⃗\vec{w} es ortogonal a u⃗\vec{u}.
b)1 pts
Para a=1a = 1, calcula el valor o valores de bb para que el volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores sea de 6 unidades cúbicas.
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