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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2020Variante 2

Matemáticas II · Andalucía 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios de los ocho ejercicios propuestos. Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sabiendo que lim⁡x→0xex−ln⁡(1+x)−(a+1)xx2\lim_{x \to 0} \frac{xe^x - \ln(1+x) - (a+1)x}{x^2} es finito, calcula aa y el valor del límite (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determina la función f:(−1,+∞)→Rf: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto (0,1)(0, 1), f′(0)=0f'(0) = 0 y f′′(x)=1x+1f''(x) = \frac{1}{x+1}.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}
a
Discútelo según los valores de aa.1,75 pts
b
Resuelve, si es posible, el sistema para a=1a = 1 y a=−2a = -2.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el punto P(1,0,−1)P(1, 0, -1) y la recta r≡{x−y+2z=5x−z=1r \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 5 \\ x - z = 1 \end{cases}
a
Determina el punto simétrico de PP respecto de la recta rr.1,5 pts
b
Calcula el punto de la recta rr que dista 6\sqrt{6} unidades de PP.1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=∣x∣2−xf(x) = \frac{|x|}{2-x} para x≠2x \neq 2.
a
Estudia la derivabilidad de ff.1,25 pts
b
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considera las funciones f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=−4x+2f(x) = -4x + 2 y g(x)=−x2+2x+cg(x) = -x^2 + 2x + c.
a
Halla el valor de cc sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que gg alcanza su máximo.1 pt
b
Para c=−3c = -3, calcula el área de la región limitada por ambas gráficas.1,5 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Considera la matriz A=(−12−3232−12)A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}
a
Calcula A37A^{37} y A41A^{41}.1,5 pts
b
Halla el determinante de la matriz 3A52(At)43A^{52}(A^t)^4, donde AtA^t es la matriz traspuesta de AA.1 pt
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Considera los vectores u⃗=(2,1,0)\vec{u} = (2, 1, 0), v⃗=(1,0,−1)\vec{v} = (1, 0, -1) y w⃗=(a,b,1)\vec{w} = (a, b, 1).
a
Halla aa y bb sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que w⃗\vec{w} es ortogonal a u⃗\vec{u}.1,5 pts
b
Para a=1a = 1, calcula el valor o valores de bb para que el volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores sea de 6 unidades cúbicas.1 pt
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