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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2026ExtraordinariaVariante Serie 2

Matemáticas II · Cataluña 2026

4 ejercicios

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a los cuatro ejercicios. En el 1, el 2 y el 3, responde a todas las cuestiones; en el 4, elige una de las dos opciones (A o B).
Puntuación
Cada ejercicio vale 2,5 puntos.
Material
Puede utilizar calculadora, pero no calculadoras u otros aparatos que puedan almacenar datos o transmitir o recibir información.
Además
En todas las respuestas, explica qué quieres hacer y por qué. Redacta con coherencia, corrección y claridad, empleando la notación y el vocabulario matemático adecuados y expresando la solución de forma clara.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la función f(x)=5xx2+1f(x) = \frac{5x}{x^2 + 1}.
1.1
Estudie su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus posibles máximos y mínimos locales.1 pt
1.2
Calcule las ecuaciones de todas las asíntotas de esta función (si tiene) y dibuje un esbozo de su gráfica.0,75 pts
1.3
Calcule la ecuación de la recta normal (es decir, la recta perpendicular a la tangente) a la curva y=f(x)y = f(x) en el punto de abscisa x=2x = 2.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones:2x+ky+z=3−x+2y+2z=1x+y+z=2},\left.\begin{aligned} 2x + ky + z &= 3 \\ -x + 2y + 2z &= 1 \\ x + y + z &= 2 \end{aligned}\right\},donde kk es un parámetro real.
2.1
Discuta el sistema en función del parámetro kk.1 pt
2.2
Resuelva el sistema para todos los valores de kk y compruebe que, para k≠1k \ne 1, la solución no depende de kk.1 pt
2.3
Interprete geométricamente el resultado de los apartados anteriores.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se quiere construir un parque eólico en el Solsonès, formado por 10 aerogeneradores. La empresa que los construirá está diseñando las palas según el esquema siguiente, donde xx y f(x)f(x) están medidos en metros (el dibujo no está a escala):
Gráfica de f(x) = 2x³ y g(x) = 8x, con las dos regiones encerradas entre ambas curvas sombreadas, una a cada lado del origen. Los ejes no tienen marcas de escala.
Se ha calculado que cada uno de los 10 aerogeneradores tendrá una potencia de 100 MW100\,\text{MW}. Debido a varios factores, cada uno tiene una probabilidad del 10 %10\,\% de estar parado, independientemente del resto de aerogeneradores.
3.1
¿Cuál es la probabilidad de que se llegue a los 1 000 MW1\,000\,\text{MW} de potencia total en el parque?0,75 pts
3.2
¿Cuál es la probabilidad de que la potencia total del parque supere los 150 MW150\,\text{MW}?0,75 pts
3.3
Calcule el área de las palas de uno de estos aerogeneradores (parte sombreada en el gráfico).1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean. Indique en la portada del examen la opción elegida.

Aina quiere construir una caja de cartón en forma de prisma rectangular con tapa, para guardar la tableta y el cargador. Aina construirá la caja a partir de un cartón rectangular de 80 cm×50 cm80\,\text{cm} \times 50\,\text{cm}. En la siguiente figura se muestra el desarrollo de la caja; las zonas rayadas son las partes que Aina recortará y retirará para poder montarla:
Desarrollo de la caja sobre un cartón de 80 cm por 50 cm, con recortes rayados y el lado x cm indicado en una esquina.
4.1
Compruebe que el volumen de la caja resultante es V(x)=2x3−130x2+2 000xV(x) = 2x^3 - 130x^2 + 2\,000x, donde xx es la longitud del lado del cuadrado que hay que recortar de las esquinas para poder montarla.1 pt
4.2
Calcule las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo. ¿Cuál es este volumen máximo?1,5 pts
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Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean. Indique en la portada del examen la opción elegida.

Aina quiere construir una caja de cartón en forma de prisma rectangular con tapa, para guardar la tableta y el cargador. Aina quiere hacer un croquis en 3D de la caja utilizando un programa informático. Para empezar, sitúa un lado de la tapa desde el vértice A(1,1,1)A(1, 1, 1) hasta el vértice B(4,1,5)B(4, 1, 5), y el otro lado de la tapa desde el vértice AA hasta el vértice C(1,10,1)C(1, 10, 1).
4.1
¿Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice de la tapa? Calcule las longitudes de los dos lados de la tapa.1 pt
4.2
Sabiendo que los otros cuatro vértices de la caja están situados en el plano π:−4x+3z=24\pi: -4x + 3z = 24, calcule las coordenadas de uno de ellos (cualquiera) y la altura de la caja.1,5 pts
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