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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2013

18 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Sabemos que el vector (2,1,−1)(2, 1, -1) es una solución del sistemaax+by+cz=a+cbx−y+bz=a−b−ccx−by+2z=b}\left. \begin{array}{r} a x + b y + c z = a + c \\ b x - y + b z = a - b - c \\ c x - b y + 2 z = b \end{array} \right\}Calcule el valor de los parámetros aa, bb y cc.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Sea π:3x−2y+z=10\pi: 3x - 2y + z = 10.
a
Encuentre la ecuación continua de la recta rr perpendicular a π\pi que pasa por el punto P=(−1,3,2)P = (-1, 3, 2).1 pt
b
Encuentre también la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0) del plano π1\pi_1 paralelo a π\pi que pasa por el mismo punto PP.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción C

1Opción C
2 puntos
Sean π1\pi_1 el plano 2x+3y−z=42x + 3y - z = 4 y π2\pi_2 el plano x−2y−4z=10x - 2y - 4z = 10.
a
Compruebe que los planos π1\pi_1 y π2\pi_2 son perpendiculares.1 pt
b
Encuentre la ecuación continua de la recta paralela a los planos π1\pi_1 y π2\pi_2 y que pasa por el punto P=(−1,3,2)P = (-1, 3, 2).1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
La curva y=x2y = x^2 y la recta y=ky = k, con k>0k > 0, determinan una región plana.
a
Calcule el valor del área de esta región en función del parámetro kk.1,5 pts
b
Encuentre el valor de kk para que el área limitada sea 6 u2\sqrt{6}\,u^2.0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Considere la matriz A=(a−111a+1)A = \begin{pmatrix} a - 1 & 1 \\ 1 & a + 1 \end{pmatrix}. Sea II la matriz identidad de orden 2.
a
Encuentre el valor del parámetro aa para que se cumpla que A2−2A=IA^2 - 2A = I.1 pt
b
Calcule la matriz inversa de la matriz AA cuando a=−2a = -2.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción C

2Opción C
2 puntos
La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo esA=(−12321−a0412a+2)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 - a & 0 \\ 4 & 1 & 2a + 2 \end{pmatrix}
a
¿Para qué valores del parámetro aa el sistema tiene una sola solución? ¿Cuál es esta solución única?1 pt
b
Resuelva el sistema si a=2a = 2.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Sea A=(121316013−26p−13−16)A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ p & -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.
Datos
  • No aproxime las raíces mediante valores con decimales
  • trabaje con los radicales
a
¿Qué significa que la matriz BB sea la matriz inversa de AA?0,5 pts
b
Encuentre el valor del parámetro pp para que la matriz inversa de AA y la matriz transpuesta de AA coincidan.1,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Dada la función f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1} y la recta horizontal y=ky = k, con k>0k > 0;
a
Haga un esbozo del recinto limitado por las gráficas de la función y la recta, y los ejes de coordenadas.0,5 pts
b
Encuentre el valor de kk sabiendo que el área de este recinto es igual a 14/314/3.1,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción C

3Opción C
2 puntos
Dados los puntos P=(1,−1,2)P = (1, -1, 2), Q=(2,0,1)Q = (2, 0, 1) y R=(3,2,−1)R = (3, 2, -1),
a
Encuentre la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0) del plano que determinan.1 pt
b
Encuentre un punto SS perteneciente a la recta r:x−52=y−1−1=z−5−3r: \frac{x - 5}{2} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 5}{-3}, de manera que el tetraedro de vértices PP, QQ, RR y SS tenga un volumen igual a 1/21/2.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Se quiere construir un canal que tenga como sección un trapecio isósceles de manera que la anchura superior del canal sea el doble de la anchura inferior y que los lados no paralelos sean de 8 metros. A la derecha tiene un esquema de la sección del canal.
Esquema de la sección trapezoidal del canal con base inferior x, altura h, lado inclinado 8 y segmento superior L.
a
Encuentre el valor del segmento LL de la gráfica en función de la variable xx (anchura inferior del canal).0,5 pts
b
Sabemos que el área de un trapecio es igual a la altura multiplicada por la semisuma de las bases. Compruebe que, en este caso, el área de la sección viene dada por A(x)=3x256−x24A(x) = \frac{3x \sqrt{256 - x^2}}{4}0,5 pts
c
Calcule el valor de xx para que el área de la sección del canal sea máxima (no es necesario que compruebe que es realmente un máximo).1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Un triángulo de área 3/23/2 tiene dos de los vértices en los puntos P=(0,0,0)P = (0, 0, 0) y Q=(2,0,1)Q = (2, 0, 1). El tercer vértice, RR, es un punto de la rectar:{x+y+z=0y=1r: \begin{cases} x + y + z = 0 \\ y = 1 \end{cases}y tiene la primera coordenada no nula. Calcule las coordenadas del vértice RR.
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Ejercicio 4 · Opción C

4Opción C
2 puntos
Para x≥1x \geq 1, considere la función f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1}.
a
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisa igual a 10.1 pt
b
Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de f(x)f(x), la recta de ecuación x=5x = 5 y el eje OX.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Dados los puntos P=(1,0,−1)P = (1, 0, -1) y Q=(−1,2,3)Q = (-1, 2, 3), encuentre un punto RR de la recta r:x+32=y+43=z−3−1r: \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{3} = \frac{z - 3}{-1} que cumpla que el triángulo de vértices PP, QQ y RR es isósceles, en el que PR‾\overline{PR} y QR‾\overline{QR} son los lados iguales del triángulo.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
En una semiesfera de radio RR inscribimos un cono situando el vértice en el centro de la semiesfera, tal como se ve en el dibujo.
Diagrama de un cono de altura h y radio r inscrito en una semiesfera de radio R.
a
Sabiendo que el volumen de un cono es igual al área de la base multiplicada por la altura y dividida por 3, compruebe que, en este caso, podemos expresar el volumen como V=π⋅h3(R2−h2)V = \frac{\pi \cdot h}{3} (R^2 - h^2) 0,5 pts
b
Encuentre las dimensiones de este cono (el radio de la base y la altura) para que su volumen sea máximo y compruebe que se trata realmente de un máximo.1,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción C

5Opción C
2 puntos
Considere los puntos A=(−1,2,4)A = (-1, 2, 4) y B=(3,0,−2)B = (3, 0, -2).
a
Encuentre la ecuación del plano formado por todos los puntos que equidistan de AA y BB.1 pt
b
Dado un punto C=(x,y,z)C = (x, y, z), dividimos el segmento AC‾\overline{AC} en tres partes iguales y obtenemos los puntos A,A1,BA, A_1, B y CC. Encuentre el punto CC.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
La función f(x)f(x) es derivable y pasa por el origen de coordenadas. La gráfica de la función derivada es la que ve aquí dibujada, siendo f′(x)f'(x) creciente en los intervalos (−∞,−3](-\infty, -3] y [2,+∞)[2, +\infty).
Gráfica de la función derivada y = f'(x) mostrando cortes con el eje x en -3, 1 y 2.
a
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)f(x) en el punto de abscisa x=0x = 0.1 pt
b
Indique las abscisas de los extremos relativos de la función f(x)f(x) y clasifique estos extremos.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Sea f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c. Sabemos que la gráfica de esta función es tangente a la recta r:y=x+3r: y = x + 3 en el punto de abscisa x=−1x = -1, y que en el punto de abscisa x=1x = 1 la recta tangente es paralela a la recta rr. Calcule el valor de los parámetros aa, bb y cc.
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Ejercicio 6 · Opción C

6Opción C
2 puntos
Un triángulo rectángulo situado en el primer cuadrante tiene el vértice AA en el origen de coordenadas, el vértice B=(x,0)B = (x, 0) en el semieje positivo de abscisas y el vértice CC pertenece a la recta x+2y=8x + 2y = 8. El ángulo recto es el que corresponde al vértice BB.
Triángulo rectángulo ABC en el primer cuadrante con A en el origen, B en el eje x y C sobre una recta de pendiente negativa.
a
Compruebe que el área del triángulo se puede expresar de la manera siguiente: A(x)=2x−x24A(x) = 2x - \frac{x^2}{4}1 pt
b
Encuentre los vértices BB y CC para que el área del triángulo sea máxima y compruebe que se trata realmente de un máximo.1 pt
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