Matemáticas II · Cataluña 2013

Sabemos que el vector $(2, 1, -1)$ es una solución del sistema $$\left. \begin{array}{r} a x + b y + c z = a + c \\ b x - y + b z = a - b - c \\ c x - b y + 2 z = b \end{array} \right\}$$ Calcule el valor de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

Sea $\pi: 3x - 2y + z = 10$.

Sean $\pi_1$ el plano $2x + 3y - z = 4$ y $\pi_2$ el plano $x - 2y - 4z = 10$.

La curva $y = x^2$ y la recta $y = k$, con $k > 0$, determinan una región plana.

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} a - 1 & 1 \\ 1 & a + 1 \end{pmatrix}$. Sea $I$ la matriz identidad de orden 2.

La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 - a & 0 \\ 4 & 1 & 2a + 2 \end{pmatrix}$$

Sea $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ p & -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$.

Dada la función $f(x) = \sqrt{x - 1}$ y la recta horizontal $y = k$, con $k > 0$;

Dados los puntos $P = (1, -1, 2)$, $Q = (2, 0, 1)$ y $R = (3, 2, -1)$,

Se quiere construir un canal que tenga como sección un trapecio isósceles de manera que la anchura superior del canal sea el doble de la anchura inferior y que los lados no paralelos sean de 8 metros. A la derecha tiene un esquema de la sección del canal.

Un triángulo de área $3/2$ tiene dos de los vértices en los puntos $P = (0, 0, 0)$ y $Q = (2, 0, 1)$. El tercer vértice, $R$, es un punto de la recta $$r: \begin{cases} x + y + z = 0 \\ y = 1 \end{cases}$$ y tiene la primera coordenada no nula. Calcule las coordenadas del vértice $R$.

Para $x \geq 1$, considere la función $f(x) = \sqrt{x - 1}$.

Dados los puntos $P = (1, 0, -1)$ y $Q = (-1, 2, 3)$, encuentre un punto $R$ de la recta $r: \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{3} = \frac{z - 3}{-1}$ que cumpla que el triángulo de vértices $P$, $Q$ y $R$ es isósceles, en el que $\overline{PR}$ y $\overline{QR}$ son los lados iguales del triángulo.

En una semiesfera de radio $R$ inscribimos un cono situando el vértice en el centro de la semiesfera, tal como se ve en el dibujo.

Considere los puntos $A = (-1, 2, 4)$ y $B = (3, 0, -2)$.

La función $f(x)$ es derivable y pasa por el origen de coordenadas. La gráfica de la función derivada es la que ve aquí dibujada, siendo $f'(x)$ creciente en los intervalos $(-\infty, -3]$ y $[2, +\infty)$.

Sea $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Sabemos que la gráfica de esta función es tangente a la recta $r: y = x + 3$ en el punto de abscisa $x = -1$, y que en el punto de abscisa $x = 1$ la recta tangente es paralela a la recta $r$. Calcule el valor de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

Un triángulo rectángulo situado en el primer cuadrante tiene el vértice $A$ en el origen de coordenadas, el vértice $B = (x, 0)$ en el semieje positivo de abscisas y el vértice $C$ pertenece a la recta $x + 2y = 8$. El ángulo recto es el que corresponde al vértice $B$.