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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2018

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(14010075345α)A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 & 10 \\ 0 & 7 & 5 \\ 3 & 4 & 5\alpha \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} y B=(237/211)B = \begin{pmatrix} 2 \\ 37/2 \\ 11 \end{pmatrix}, se pide:
a)1,25 pts
Discutir el rango de la matriz AA, en función de los valores del parámetro α\alpha.
b)0,75 pts
Para α=0\alpha = 0, calcular, si es posible, A−1A^{-1}.
c)0,5 pts
Resolver, si es posible, el sistema AX=BAX = B, en el caso α=1\alpha = 1.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Un grupo de estudiantes ha realizado un viaje por tres países (Francia, Alemania y Suiza). En los hoteles cada estudiante ha pagado: 20 euros diarios en Francia, 25 euros diarios en Alemania y 30 euros diarios en Suiza. En comidas cada uno ha gastado: 20 euros diarios en Francia, 15 euros diarios en Alemania y 25 euros diarios en Suiza. Además, el transportista les ha cobrado 8 euros diarios a cada uno. Sabiendo que el gasto total del viaje ha sido 765 euros por persona, que ha durado 15 días y que han estado en Francia el doble de días que en Suiza, obtenga el número de días que han estado en cada uno de los tres países.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Se considera la función f(x)={8e2x−4si x≤2x3−4xx−2si x>2f(x) = \begin{cases} 8e^{2x-4} & \text{si } x \leq 2 \\ \frac{x^3 - 4x}{x - 2} & \text{si } x > 2 \end{cases} y se pide:
a)0,75 pts
Estudiar la continuidad de ff en x=2x = 2.
b)1 pts
Calcular las asíntotas horizontales de f(x)f(x). ¿Hay alguna asíntota vertical?
c)0,75 pts
Calcular ∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
El dibujo adjunto muestra la gráfica de una función y=f(x)y = f(x). Usando la información de la figura, se pide:
Gráfica de la función f(x) con puntos de discontinuidad en x=-1 y x=0.
Gráfica de la función f(x) con puntos de discontinuidad en x=-1 y x=0.
a)0,5 pts
Indicar los valores de f(−1)f(-1) y f′(1)f'(1).
b)1 pts
Justificar, usando límites laterales, si ff es continua en los puntos x=−1x = -1 y x=0x = 0.
c)0,5 pts
Indicar razonadamente si ff es derivable en los puntos x=−1x = -1 y x=0x = 0.
d)0,5 pts
Determinar el valor de ∫−20f(x) dx\int_{-2}^{0} f(x) \, dx.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Se consideran los vectores u⃗=(−1,2,3)\vec{u} = (-1, 2, 3), v⃗=(2,0,−1)\vec{v} = (2, 0, -1) y el punto A(−4,4,7)A(-4, 4, 7). Se pide:
a)1 pts
Determinar un vector w⃗1\vec{w}_1 que sea ortogonal a u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}, unitario y con tercera coordenada negativa.
b)0,75 pts
Hallar un vector no nulo w⃗2\vec{w}_2 que sea combinación lineal de u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} y ortogonal a v⃗\vec{v}.
c)0,75 pts
Determinar los vértices del paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} y una de sus diagonales es el segmento OA⃗\vec{OA}.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dados el punto P(0,−1,1)P(0, -1, 1) y la recta rr, que pasa por el punto Q(1,0,1)Q(1, 0, 1) y tiene como vector director v⃗=(0,1,2)\vec{v} = (0, 1, 2), se pide:
a)0,5 pts
Hallar la ecuación implícita del plano que contiene a rr y pasa por PP.
b)0,5 pts
Encontrar el punto SS contenido en rr tal que el vector SP⃗\vec{SP} sea perpendicular a la recta rr.
c)1,5 pts
Hallar el área del triángulo cuyos vértices son el punto PP y dos puntos T1,T2T_1, T_2, contenidos en la recta rr, que están a distancia 5\sqrt{5} de PP.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Según los datos de la Fundación para la Diabetes, el 13,8%13{,}8\% de los españoles mayores de 18 años tiene diabetes, aunque el 43%43\% de ellos no sabe que la tiene. Se elige al azar un español mayor de 18 años.
a)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que sea diabético y lo sepa?, ¿cuál la de que no sea diabético o no sepa que lo es?
b)1,5 pts
Cierto test diagnostica correctamente el 96%96\% de los casos positivos de diabetes, pero da un 2%2\% de falsos positivos. Si un español mayor de 18 años da positivo en el test, ¿cuál es la probabilidad de que realmente sea diabético?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
La variable aleatoria XX sigue una distribución normal de media μ=8,5\mu = 8{,}5 y desviación típica σ=2,5\sigma = 2{,}5. Se pide:
Campana de Gauss representando la distribución normal estándar con el área bajo la curva hasta un valor z sombreada.
Campana de Gauss representando la distribución normal estándar con el área bajo la curva hasta un valor z sombreada.
a)1,25 pts
Calcular el valor aa tal que P(X≤a)=0,05P(X \leq a) = 0{,}05.
b)1,25 pts
Calcular la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 88 y 9,39{,}3.
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