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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Despues de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora, siempre que no tenga NINGUNA de las siguientes características: posibilidad de transmitir datos, ser programable, pantalla gráfica, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas, cálculo de integrales ni almacenamiento de datos alfanuméricos. Cualquiera que tenga alguna de estas características será retirada. CALIFICACIÓN: La valoración de cada ejercicio se especifica en el enunciado. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(14010075345α)A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 & 10 \\ 0 & 7 & 5 \\ 3 & 4 & 5\alpha \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} y B=(237/211)B = \begin{pmatrix} 2 \\ 37/2 \\ 11 \end{pmatrix}, se pide:
a
Discutir el rango de la matriz AA, en función de los valores del parámetro α\alpha.1,25 pts
b
Para α=0\alpha = 0, calcular, si es posible, A−1A^{-1}.0,75 pts
c
Resolver, si es posible, el sistema AX=BAX = B, en el caso α=1\alpha = 1.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se considera la función f(x)={8e2x−4si x≤2x3−4xx−2si x>2f(x) = \begin{cases} 8e^{2x-4} & \text{si } x \leq 2 \\ \frac{x^3 - 4x}{x - 2} & \text{si } x > 2 \end{cases} y se pide:
a
Estudiar la continuidad de ff en x=2x = 2.0,75 pts
b
Calcular las asíntotas horizontales de f(x)f(x). ¿Hay alguna asíntota vertical?1 pt
c
Calcular ∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se consideran los vectores u⃗=(−1,2,3)\vec{u} = (-1, 2, 3), v⃗=(2,0,−1)\vec{v} = (2, 0, -1) y el punto A(−4,4,7)A(-4, 4, 7). Se pide:
a
Determinar un vector w⃗1\vec{w}_1 que sea ortogonal a u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}, unitario y con tercera coordenada negativa.1 pt
b
Hallar un vector no nulo w⃗2\vec{w}_2 que sea combinación lineal de u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} y ortogonal a v⃗\vec{v}.0,75 pts
c
Determinar los vértices del paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} y una de sus diagonales es el segmento OA⃗\vec{OA}.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Según los datos de la Fundación para la Diabetes, el 13,8%13{,}8\% de los españoles mayores de 18 años tiene diabetes, aunque el 43%43\% de ellos no sabe que la tiene. Se elige al azar un español mayor de 18 años.
a
¿Cuál es la probabilidad de que sea diabético y lo sepa?, ¿cuál la de que no sea diabético o no sepa que lo es?1 pt
b
Cierto test diagnostica correctamente el 96%96\% de los casos positivos de diabetes, pero da un 2%2\% de falsos positivos. Si un español mayor de 18 años da positivo en el test, ¿cuál es la probabilidad de que realmente sea diabético?1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Un grupo de estudiantes ha realizado un viaje por tres países (Francia, Alemania y Suiza). En los hoteles cada estudiante ha pagado: 20 euros diarios en Francia, 25 euros diarios en Alemania y 30 euros diarios en Suiza. En comidas cada uno ha gastado: 20 euros diarios en Francia, 15 euros diarios en Alemania y 25 euros diarios en Suiza. Además, el transportista les ha cobrado 8 euros diarios a cada uno. Sabiendo que el gasto total del viaje ha sido 765 euros por persona, que ha durado 15 días y que han estado en Francia el doble de días que en Suiza, obtenga el número de días que han estado en cada uno de los tres países.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
El dibujo adjunto muestra la gráfica de una función y=f(x)y = f(x). Usando la información de la figura, se pide:
Gráfica de la función f(x) con puntos de discontinuidad en x=-1 y x=0.
a
Indicar los valores de f(−1)f(-1) y f′(1)f'(1).0,5 pts
b
Justificar, usando límites laterales, si ff es continua en los puntos x=−1x = -1 y x=0x = 0.1 pt
c
Indicar razonadamente si ff es derivable en los puntos x=−1x = -1 y x=0x = 0.0,5 pts
d
Determinar el valor de ∫−20f(x) dx\int_{-2}^{0} f(x) \, dx.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dados el punto P(0,−1,1)P(0, -1, 1) y la recta rr, que pasa por el punto Q(1,0,1)Q(1, 0, 1) y tiene como vector director v⃗=(0,1,2)\vec{v} = (0, 1, 2), se pide:
a
Hallar la ecuación implícita del plano que contiene a rr y pasa por PP.0,5 pts
b
Encontrar el punto SS contenido en rr tal que el vector SP⃗\vec{SP} sea perpendicular a la recta rr.0,5 pts
c
Hallar el área del triángulo cuyos vértices son el punto PP y dos puntos T1,T2T_1, T_2, contenidos en la recta rr, que están a distancia 5\sqrt{5} de PP.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
La variable aleatoria XX sigue una distribución normal de media μ=8,5\mu = 8{,}5 y desviación típica σ=2,5\sigma = 2{,}5. Se pide:
Datos
  • Ejemplo: si ZZ tiene distribución N(0,1)N(0, 1)
  • P(Z<0,45)=0,6736P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736
Campana de Gauss representando la distribución normal estándar con el área bajo la curva hasta un valor z sombreada.
a
Calcular el valor aa tal que P(X≤a)=0,05P(X \leq a) = 0{,}05.1,25 pts
b
Calcular la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 88 y 9,39{,}3.1,25 pts
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