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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Conteste de manera clara y razonada cuatro cuestiones cualesquiera, escogidas de entre las ocho propuestas. Dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total de puntos obtenidos entre 4. Solo se tendrán en cuenta las respuestas claramente justificadas y razonadas usando lenguaje matemático, o no matemático, según corresponda. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Se permite utilizar calculadora científica básica. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables, ni de dispositivos con acceso a Internet o aparatos que puedan transmitir o almacenar información.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Considera la matriz MM y el vector bb,M=(21aa+101111)yb⃗=(011),M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & a \\ a + 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},respectivamente.
a
Indica para qué valores de aa la matriz MM es invertible.3 pts
b
Calcula, para todos los valores de aa que sea posible, la inversa de MM.3 pts
c
Calcula, para el caso a=0a = 0, el vector xx tal que Mx=bMx = b.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Considera las matricesA=(3−103)yB=(2111),A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},i sea OO la matriz nula de orden 2×22 \times 2.
a
Calcula todas las matrices XX tales que AX−X=BAX - X = B.4 pts
b
Halla una matriz YY diferente de OO tal que (A−B)Y=O(A - B)Y = O.3 pts
c
Indica todas las matrices ZZ que cumplen la igualdad AZ=OAZ = O.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considera el plano π:2x+3y+z−6=0\pi : 2x + 3y + z - 6 = 0.
a
Determina los vértices del triángulo que viene determinado por la intersección del plano con los ejes de coordenadas.3 pts
b
Calcula el área del triángulo anterior.3 pts
c
Sea AA el vértice del triángulo sobre el eje de abscisas (eje OXOX). Calcula la recta perpendicular al plano que pasa por AA.4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Sean aa y bb dos constantes reales no nulas. Consideramos el plano π:x+ay−2z=3\pi : x + ay - 2z = 3 y la rectar:{x+bz=1y=0r: \begin{cases} x + bz = 1 \\ y = 0 \end{cases}
a
¿Para qué valores de aa y bb la recta rr es perpendicular al plano π\pi? Para estos casos concretos, calcula el punto de corte entre rr y π\pi, y calcula o justifica cuál es la distancia de la recta al plano.4 pts
b
¿Para qué valores de aa y bb la recta rr es paralela al plano π\pi?3 pts
c
¿Existen algunos valores de aa y bb para los cuales la recta rr está contenida en el plano π\pi?3 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
La cantidad de toneladas de agua infectada por una bacteria se espera que siga la función f(x)=e−x+0,15x+1f(x) = e^{-x} + 0{,}15x + 1 siendo x≥0x \geq 0 los días de infección y f(x)f(x) las toneladas de agua infectada.
a
¿Cuántas toneladas de agua había inicialmente infectadas por la bacteria? ¿Hacia qué valor tiende la cantidad de agua infectada? Interpreta los resultados.4 pts
b
¿En qué momento hay menos cantidad de agua infectada? ¿Cuántas toneladas hay en aquel momento?4 pts
c
¿Hay algún momento en que el agua no esté infectada? Justifica la respuesta.2 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Representa la región comprendida entre la curva f(x)=2xx2+1f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}, el eje de abscisas (eje OXOX) y las rectas x=0x = 0 y x=7x = 7. Calcula su área.
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Ejercicio 7

7
10 puntos
Un espacio muestral contiene dos sucesos AA y BB. Sabiendo que P(A∩B)=0,3P(A \cap B) = 0{,}3, P(A/B)=P(B/A)P(A/B) = P(B/A) y P(Ac)=0,4P(A^c) = 0{,}4 (siendo AcA^c el suceso complementario), calcula:
a
P(B/A)P(B/A).2 pts
b
P(B)P(B).3 pts
c
P(Ac∩Bc)P(A^c \cap B^c).3 pts
d
¿Son AA y BB sucesos independientes?2 pts
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Ejercicio 8

8
10 puntos
El peso de los recién nacidos sigue una distribución normal de media μ=3,1 kg\mu = 3{,}1\,\text{kg} y desviación típica σ\sigma desconocida. Se sabe que solo el 30,5%30{,}5\% de los recién nacidos pesa más de 3,8 kg3{,}8\,\text{kg}. Calcula, redondeando los resultados a 4 decimales:
a
¿Cuál es la desviación típica?4 pts
b
Suponiendo que σ=1,3725\sigma = 1{,}3725, ¿cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese menos de 2,7 kg2{,}7\,\text{kg}?3 pts
c
Suponiendo que σ=1,3725\sigma = 1{,}3725, ¿cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese entre 2,72{,}7 y 3,5 kg3{,}5\,\text{kg}?3 pts
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