Matemáticas II · Baleares 2023

Considera la matriz $M$ y el vector $b$, $$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & a \\ a + 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},$$ respectivamente.

Considera las matrices $$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},$$ i sea $O$ la matriz nula de orden $2 \times 2$.

Considera el plano $\pi : 2x + 3y + z - 6 = 0$.

Sean $a$ y $b$ dos constantes reales no nulas. Consideramos el plano $\pi : x + ay - 2z = 3$ y la recta $$r: \begin{cases} x + bz = 1 \\ y = 0 \end{cases}$$

La cantidad de toneladas de agua infectada por una bacteria se espera que siga la función $f(x) = e^{-x} + 0{,}15x + 1$ siendo $x \geq 0$ los días de infección y $f(x)$ las toneladas de agua infectada.

Representa la región comprendida entre la curva $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, el eje de abscisas (eje $OX$) y las rectas $x = 0$ y $x = 7$. Calcula su área.

Un espacio muestral contiene dos sucesos $A$ y $B$. Sabiendo que $P(A \cap B) = 0{,}3$, $P(A/B) = P(B/A)$ y $P(A^c) = 0{,}4$ (siendo $A^c$ el suceso complementario), calcula:

El peso de los recién nacidos sigue una distribución normal de media $\mu = 3{,}1\,\text{kg}$ y desviación típica $\sigma$ desconocida. Se sabe que solo el $30{,}5\%$ de los recién nacidos pesa más de $3{,}8\,\text{kg}$. Calcula, redondeando los resultados a 4 decimales: