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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada cuatro cuestiones cualesquiera, escogidas de entre las ocho propuestas. Disponéis de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total de puntos obtenidos entre 4. Solo se tendrán en cuenta las respuestas claramente justificadas y razonadas usando lenguaje matemático, o no matemático, según corresponda. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Se permite utilizar calculadora científica básica. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables, ni de dispositivos con acceso a Internet o aparatos que puedan transmitir o almacenar información.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Sea el sistema{mx+y−z=12x+my=1x+mz=0\begin{cases} mx + y - z = 1 \\ 2x + my = 1 \\ x + mz = 0 \end{cases}
a
Discute el número de soluciones que tiene el sistema según el parámetro mm.7 pts
b
Resuelve el sistema para el caso m=1m = 1.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Sea AA una matriz invertible n×nn \times n con coeficientes reales tal que cumple la igualdad A2+A=IA^2 + A = I.
a
¿Satisface la matrizM=(0−1−1−1)M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}las condiciones del enunciado? Es decir, ¿cumple MM la igualdad del enunciado y, además, es invertible?3 pts
b
Volviendo a considerar que AA es una matriz cualquiera que satisface las condiciones del enunciado, calcula la inversa de AA.3 pts
c
Comprueba que se satisface la igualdad A(B+A)−I=A(B−I)A(B + A) - I = A(B - I), siendo BB una matriz cuadrada cualquiera n×nn \times n con coeficientes reales.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Sean los puntos A=(1,2,0)A = (1, 2, 0), B=(−1,0,1)B = (-1, 0, 1), C=(0,0,1)C = (0, 0, 1) y D=(3,1,2)D = (3, 1, 2).
a
Determina la recta rr que pasa por DD y es perpendicular al plano que contiene los puntos AA, BB y CC.4 pts
b
Determina si los puntos AA, BB, CC y DD son coplanarios o no.4 pts
c
¿Es DD el punto de corte de la recta con el plano del apartado (a)? Justifica la respuesta.2 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Sea el plano π:3x+y+z=2\pi : 3x + y + z = 2 y los puntos P=(0,1,1)P = (0, 1, 1) y Q=(2,−1,−3)Q = (2, -1, -3).
a
¿Son PP y QQ puntos del plano π\pi? Justifica la respuesta.2 pts
b
Calcula el punto SS situado sobre la recta PQPQ que se encuentra a 3/43/4 partes de PP y a 1/41/4 parte de QQ.4 pts
c
Determina la ecuación implícita (también llamada cartesiana) de la recta que pasa por PP y es perpendicular al plano π\pi.4 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
La reproducción de un insecto a lo largo del tiempo sigue la función f(x)=e−x(2x+1)f(x) = e^{-x}(2x + 1) siendo x≥0x \geq 0 el tiempo en meses y f(x)f(x) el número de insectos en millones.
a
¿Cuántos millones de insectos había en el instante inicial? ¿Hacia dónde tiende la cantidad de insectos a lo largo de los años? Interpreta los resultados.4 pts
b
¿Cuál es el máximo número de insectos que llega a haber? ¿En qué instante de tiempo se alcanza este valor?4 pts
c
¿Hay algún momento en que la población supera los 2 millones de insectos? Justifica la respuesta.2 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Calcula la integral de la función f(x)=x4+2x−6x2+x−2f(x) = \frac{x^4 + 2x - 6}{x^2 + x - 2}.
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Ejercicio 7

7
10 puntos
En una clase donde todos los alumnos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega a fútbol o baloncesto y el 10% practica los dos. Por otra parte, se sabe que hay un 60% de alumnos que no juega a fútbol.
a
Sea F=’juega a fuˊtbol’F = \text{'juega a fútbol'} y sea B=’juega a baloncesto’B = \text{'juega a baloncesto'}, escribe, en términos de uniones, intersecciones y complementarios de estos dos sucesos, las tres probabilidades que indica el enunciado.3 pts
b
Calcula la probabilidad de que, escogiendo al azar un alumno de la clase:7 pts
b.1
Juegue a fútbol.1 pt
b.2
Juegue a baloncesto.2 pts
b.3
Juegue a baloncesto y no a fútbol (es decir, solo juegue a baloncesto).2 pts
b.4
No juegue ni a fútbol ni a baloncesto.2 pts
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Ejercicio 8

8
10 puntos
a
En un examen de tecnología, ¿cuál es la probabilidad de sacar una nota entre 5 y 7 si se sabe que las notas siguen una distribución normal de media 6 y desviación típica 2?5 pts
b
En un examen de filosofía, el 35% de los alumnos presentados obtuvieron una nota mayor que 6, mientras que el 51% obtuvieron una menor que 4. Suponiendo que las notas siguen una distribución normal, determina cuál es su media μ\mu y su desviación típica σ\sigma.5 pts
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