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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2023

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
10 puntos
Sea el sistema {mx+y−z=12x+my=1x+mz=0\begin{cases} mx + y - z = 1 \\ 2x + my = 1 \\ x + mz = 0 \end{cases}
a)7 pts
Discute el número de soluciones que tiene el sistema según el parámetro mm.
b)3 pts
Resuelve el sistema para el caso m=1m = 1.
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Sea AA una matriz invertible n×nn \times n con coeficientes reales tal que cumple la igualdad A2+A=IA^2 + A = I.
a)3 pts
¿Satisface la matriz M=(0−1−1−1)M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} las condiciones del enunciado? Es decir, ¿cumple MM la igualdad del enunciado y, además, es invertible?
b)3 pts
Volviendo a considerar que AA es una matriz cualquiera que satisface las condiciones del enunciado, calcula la inversa de AA.
c)4 pts
Comprueba que se satisface la igualdad A(B+A)−I=A(B−I)A(B + A) - I = A(B - I), siendo BB una matriz cuadrada cualquiera n×nn \times n con coeficientes reales.
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Sean los puntos A=(1,2,0)A = (1, 2, 0), B=(−1,0,1)B = (-1, 0, 1), C=(0,0,1)C = (0, 0, 1) y D=(3,1,2)D = (3, 1, 2).
a)4 pts
Determina la recta rr que pasa por DD y es perpendicular al plano que contiene los puntos AA, BB y CC.
b)4 pts
Determina si los puntos AA, BB, CC y DD son coplanarios o no.
c)2 pts
¿Es DD el punto de corte de la recta con el plano del apartado (a)? Justifica la respuesta.
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Sea el plano π:3x+y+z=2\pi : 3x + y + z = 2 y los puntos P=(0,1,1)P = (0, 1, 1) y Q=(2,−1,−3)Q = (2, -1, -3).
a)2 pts
¿Son PP y QQ puntos del plano π\pi? Justifica la respuesta.
b)4 pts
Calcula el punto SS situado sobre la recta PQPQ que se encuentra a 3/43/4 partes de PP y a 1/41/4 parte de QQ.
c)4 pts
Determina la ecuación implícita (también llamada cartesiana) de la recta que pasa por PP y es perpendicular al plano π\pi.
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Ejercicio 5

5
10 puntos
La reproducción de un insecto a lo largo del tiempo sigue la función f(x)=e−x(2x+1)f(x) = e^{-x}(2x + 1) siendo x≥0x \geq 0 el tiempo en meses y f(x)f(x) el número de insectos en millones.
a)4 pts
¿Cuántos millones de insectos había en el instante inicial? ¿Hacia dónde tiende la cantidad de insectos a lo largo de los años? Interpreta los resultados.
b)4 pts
¿Cuál es el máximo número de insectos que llega a haber? ¿En qué instante de tiempo se alcanza este valor?
c)2 pts
¿Hay algún momento en que la población supera los 2 millones de insectos? Justifica la respuesta.
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Calcula la integral de la función f(x)=x4+2x−6x2+x−2f(x) = \frac{x^4 + 2x - 6}{x^2 + x - 2}.
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Ejercicio 7

7
10 puntos
En una clase donde todos los alumnos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega a fútbol o baloncesto y el 10% practica los dos. Por otra parte, se sabe que hay un 60% de alumnos que no juega a fútbol.
a)3 pts
Sea F=’juega a fuˊtbol’F = \text{'juega a fútbol'} y sea B=’juega a baloncesto’B = \text{'juega a baloncesto'}, escribe, en términos de uniones, intersecciones y complementarios de estos dos sucesos, las tres probabilidades que indica el enunciado.
b)7 pts
Calcula la probabilidad de que, escogiendo al azar un alumno de la clase:
b.1)1 pts
Juegue a fútbol.
b.2)2 pts
Juegue a baloncesto.
b.3)2 pts
Juegue a baloncesto y no a fútbol (es decir, solo juegue a baloncesto).
b.4)2 pts
No juegue ni a fútbol ni a baloncesto.
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Ejercicio 8

8
10 puntos
a)5 pts
En un examen de tecnología, ¿cuál es la probabilidad de sacar una nota entre 5 y 7 si se sabe que las notas siguen una distribución normal de media 6 y desviación típica 2?
b)5 pts
En un examen de filosofía, el 35% de los alumnos presentados obtuvieron una nota mayor que 6, mientras que el 51% obtuvieron una menor que 4. Suponiendo que las notas siguen una distribución normal, determina cuál es su media μ\mu y su desviación típica σ\sigma.
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