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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora, siempre que no tenga NINGUNA de las siguientes características: posibilidad de transmitir datos, ser programable, pantalla gráfica, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas, cálculo de integrales ni almacenamiento de datos alfanuméricos. Cualquiera que tenga alguna de estas características será retirada. CALIFICACIÓN: La valoración de cada ejercicio se especifica en el enunciado. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el sistema de ecuaciones{x+my=1−2x−(m+1)y+z=−1x+(2m−1)y+(m+2)z=2+2m\begin{cases} x + my = 1 \\ -2x - (m + 1)y + z = -1 \\ x + (2m - 1)y + (m + 2)z = 2 + 2m \end{cases}se pide:
a
Discutir el sistema en función del parámetro mm.2 pts
b
Resolver el sistema en el caso m=0m = 0.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
En un experimento en un laboratorio se han realizado 5 medidas del mismo objeto, que han dado los resultados siguientes: m1=0,92,m2=0,94,m3=0,89,m4=0,90,m5=0,91m_1 = 0{,}92, m_2 = 0{,}94, m_3 = 0{,}89, m_4 = 0{,}90, m_5 = 0{,}91. Se tomará como resultado el valor de xx tal que la suma de los cuadrados de los errores sea mínima. Es decir, el valor para el que la función E(x)=(x−m1)2+(x−m2)2+⋯+(x−m5)2E(x) = (x - m_1)^2 + (x - m_2)^2 + \dots + (x - m_5)^2 alcanza el mínimo. Calcule dicho valor xx.1,5 pts
b
Aplique el método de integración por partes para calcular la integral ∫12x2ln⁡(x)dx\int_{1}^{2} x^2 \ln(x) dx, donde ln⁡\ln significa logaritmo neperiano.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dados los planos π1≡4x+6y−12z+1=0,π2≡−2x−3y+6z−5=0\pi_1 \equiv 4x + 6y - 12z + 1 = 0, \pi_2 \equiv -2x - 3y + 6z - 5 = 0, se pide:
a
Calcular el volumen de un cubo que tenga dos de sus caras en dichos planos.1 pt
b
Para el cuadrado de vértices consecutivos ABCDABCD, con A(2,1,3)A(2, 1, 3) y B(1,2,3)B(1, 2, 3), calcular los vértices CC y DD, sabiendo que CC pertenece a los planos π2\pi_2 y π3≡x−y+z=2\pi_3 \equiv x - y + z = 2.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
El 60%60\% de las ventas en unos grandes almacenes corresponden a artículos con precios rebajados. Los clientes devuelven el 15%15\% de los artículos que compran rebajados, porcentaje que disminuye al 8%8\% si los artículos han sido adquiridos sin rebajas.
a
Determine el porcentaje global de artículos devueltos.1,25 pts
b
¿Qué porcentaje de artículos devueltos fueron adquiridos con precios rebajados?1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(m02−24m01−1)A = \begin{pmatrix} m & 0 & 2 \\ -2 & 4 & m \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} y B=(−200)B = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, se pide:
a
Obtener los valores del parámetro mm para los que la matriz AA admite inversa.1 pt
b
Para m=0m = 0, calcular A⋅BA \cdot B y A−1⋅BA^{-1} \cdot B.1 pt
c
Calcular B⋅BtB \cdot B^t y Bt⋅BB^t \cdot B, donde BtB^t denota la matriz traspuesta de BB.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la función f(x)=∣x∣x2+9f(x) = \frac{|x|}{\sqrt{x^2 + 9}}, se pide:
a
Determinar, si existen, las asíntotas horizontales de f(x)f(x).0,5 pts
b
Calcular f′(4)f'(4).0,75 pts
c
Hallar el área del recinto limitado por la curva y=f(x)y = f(x), el eje OXOX y las rectas x=−1x = -1 y x=1x = 1.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dados el punto P(1,1,1)P(1, 1, 1) y las rectas r≡{2x+y=25x+z=6r \equiv \begin{cases} 2x + y = 2 \\ 5x + z = 6 \end{cases} y s≡x−2−1=y+11=z−11/3s \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1/3}, se pide:
a
Hallar la distancia del punto PP a la recta rr.1 pt
b
Estudiar la posición relativa de las rectas rr y ss.1 pt
c
Hallar el plano perpendicular a la recta ss y que pasa por el punto PP.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
En una fábrica se elaboran dos tipos de productos: A y B. El 75%75\% de los productos fabricados son de tipo A y el 25%25\% de tipo B. Los productos de tipo B salen defectuosos un 5%5\% de las veces, mientras que los de tipo A salen defectuosos un 2,5%2{,}5\% de las veces.
a
Si se fabrican 50005000 productos en un mes, ¿cuántos de ellos se espera que sean defectuosos?1 pt
b
Un mes, por motivos logísticos, se cambió la producción, de modo que se fabricaron exclusivamente productos de tipo A. Sabiendo que se fabricaron 60006000 unidades, determinar, aproximando la distribución por una normal, la probabilidad de que haya más de 160160 unidades defectuosas.1,5 pts
Datos
  • Si ZZ tiene distribución N(0,1)N(0, 1)
  • P(Z<0,45)=0,6736P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736
Gráfica de la distribución normal estándar N(0,1) con el área sombreada hasta un valor z.
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