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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2012

4 ejercicios

Instrucciones

1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.-CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas).
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f(t)=11+etf(t) = \frac{1}{1 + e^t}
a
Calcular ∫f(t)dt\int f(t) dt.1,5 pts
b
Sea g(x)=∫0xf(t)dtg(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt. Calcular lim⁡x→0g(x)x\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la función f(x)=ae2x1+xf(x) = \frac{ae^{2x}}{1 + x}, se pide:
a
Hallar aa para que la pendiente de la recta tangente a la función en x=0x = 0 valga 22.0,5 pts
b
Para a=1a = 1, estudiar el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos.1 pt
c
Para a=1a = 1, hallar sus asíntotas.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones {ax+y+z=(a−1)(a+2)x+ay+z=(a−1)2(a+2)x+y+az=(a−1)3(a+2)\begin{cases} ax + y + z = (a - 1)(a + 2) \\ x + ay + z = (a - 1)^2(a + 2) \\ x + y + az = (a - 1)^3(a + 2) \end{cases}.
a
Discutir el sistema según los valores del parámetro aa.1,5 pts
b
Resolver el sistema para a=1a = 1.0,5 pts
c
Resolver el sistema para a=−2a = -2.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se consideran las rectas: r≡x1=y−1−2=z−32;s≡x−23=y1=z+1−1.r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 3}{2} ; \quad\allowbreak s \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{-1} .
a
Justificar razonadamente que ambas rectas se cruzan.1 pt
b
Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Calcular ∫1x2+2x+3dx\int \frac{1}{x^2 + 2x + 3} dx.1,5 pts
b
Calcular los valores del parámetro aa para que las tangentes a la gráfica de la función f(x)=ax3+2x2+3f(x) = ax^3 + 2x^2 + 3 en los puntos de abscisas x=1x = 1 y x=−1x = -1 sean perpendiculares.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=ex+ln⁡(x),x∈(0,∞)f(x) = e^x + \ln(x), x \in (0, \infty) donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano.
a
Estudiar la monotonía y las asíntotas de f(x)f(x).1 pt
b
Demostrar que la ecuación x2ex−1=0x^2 e^x - 1 = 0 tiene una única solución cc en el intervalo [0,1][0, 1].0,75 pts
c
Deducir que ff presenta un punto de inflexión en cc. Esbozar la gráfica de ff.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea MM una matriz cuadrada que cumple la ecuación M2−2M=3IM^2 - 2M = 3I, donde II denota la matriz identidad.
a
Estudiar si existe la matriz inversa de MM. En caso afirmativo expresar M−1M^{-1} en términos de MM e II.1,25 pts
b
Hallar todas las matrices MM de la forma (abba)\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} que cumplen la ecuación M2−2M=3IM^2 - 2M = 3I.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(2,1,3)P(2, 1, 3) y Q(1,3,1)Q(1, 3, 1); los otros dos sobre una recta rr que pasa por el punto R(4,7,−6)R(4, 7, -6).
a
Calcular la ecuación de la recta rr.0,5 pts
b
Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado.1 pt
c
Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices.1 pt
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