Matemáticas II · Castilla y León 2012

Calcular $\int f(t) dt$.

Sea $g(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$. Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}$.

Calcular $\int \frac{1}{x^2 + 2x + 3} dx$.

Calcular los valores del parámetro $a$ para que las tangentes a la gráfica de la función $f(x) = ax^3 + 2x^2 + 3$ en los puntos de abscisas $x = 1$ y $x = -1$ sean perpendiculares.

Hallar $a$ para que la pendiente de la recta tangente a la función en $x = 0$ valga $2$.

Para $a = 1$, estudiar el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos.

Para $a = 1$, hallar sus asíntotas.

Estudiar la monotonía y las asíntotas de $f(x)$.

Demostrar que la ecuación $x^2 e^x - 1 = 0$ tiene una única solución $c$ en el intervalo $[0, 1]$.

Deducir que $f$ presenta un punto de inflexión en $c$. Esbozar la gráfica de $f$.

Discutir el sistema según los valores del parámetro $a$.

Resolver el sistema para $a = 1$.

Resolver el sistema para $a = -2$.

Estudiar si existe la matriz inversa de $M$. En caso afirmativo expresar $M^{-1}$ en términos de $M$ e $I$.

Hallar todas las matrices $M$ de la forma $\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$ que cumplen la ecuación $M^2 - 2M = 3I$.

Justificar razonadamente que ambas rectas se cruzan.

Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas.

Calcular la ecuación de la recta $r$.

Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado.

Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices.