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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2013

4 ejercicios

Instrucciones

O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio 3= 2 puntos, exercicio 4= 2 puntos
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
a) Sea MM una matriz cuadrada de orden 2 tal que M2=4MM^2 = 4M. Determina la matriz XX que verifica la ecuación matricial (M−2I)2X=I(M - 2I)^2 X = I, siendo II la matriz identidad de orden 2. b) Determina todas las matrices BB de la forma (xyyx)\begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix} que verifiquen B2=4BB^2 = 4B. Si alguna es invertible, calcula su inversa. c) ¿Cuándo un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo? ¿Puede ser incompatible un sistema de ecuaciones lineales homogéneo? Justifica la respuesta.
a
Sea MM una matriz cuadrada de orden 2 tal que M2=4MM^2 = 4M. Determina la matriz XX que verifica la ecuación matricial (M−2I)2X=I(M - 2I)^2 X = I, siendo II la matriz identidad de orden 2.
b
Determina todas las matrices BB de la forma (xyyx)\begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix} que verifiquen B2=4BB^2 = 4B. Si alguna es invertible, calcula su inversa.
c
¿Cuándo un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo? ¿Puede ser incompatible un sistema de ecuaciones lineales homogéneo? Justifica la respuesta.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dadas las rectas r:{x−2y+z+1=02y−z−2=0r: \begin{cases} x - 2y + z + 1 = 0 \\ 2y - z - 2 = 0 \end{cases} y s:{x=2+ty=3+2tz=2+2ts: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 2 + 2t \end{cases} a) Estudia la posición relativa de rr y ss. Si se cortan, calcula el punto de corte. Si determinan un plano, calcula la ecuación general o implícita de ese plano. b) Estudia la posición relativa de rr y el plano π:4x−4y+2z+7=0\pi: 4x - 4y + 2z + 7 = 0. Calcula la distancia de rr a π\pi.
a
Estudia la posición relativa de rr y ss. Si se cortan, calcula el punto de corte. Si determinan un plano, calcula la ecuación general o implícita de ese plano.
b
Estudia la posición relativa de rr y el plano π:4x−4y+2z+7=0\pi: 4x - 4y + 2z + 7 = 0. Calcula la distancia de rr a π\pi.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a) Calcula: lim⁡x→∞e2x+1xex\lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x} + 1}{x e^x} b) Si ff es una función continua en el intervalo [1,4][1,4] tal que ∫12f(x)dx=2\int_1^2 f(x) dx = 2 y ∫14f(x)dx=−4\int_1^4 f(x) dx = -4, ¿cuál es el valor de ∫245f(x)dx\int_2^4 5 f(x) dx? Enuncia las propiedades de la integral definida que utilices.
a
Calcula: lim⁡x→∞e2x+1xex\lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x} + 1}{x e^x}
b
Si ff es una función continua en el intervalo [1,4][1,4] tal que ∫12f(x)dx=2\int_1^2 f(x) dx = 2 y ∫14f(x)dx=−4\int_1^4 f(x) dx = -4, ¿cuál es el valor de ∫245f(x)dx\int_2^4 5 f(x) dx? Enuncia las propiedades de la integral definida que utilices.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola f(x)=−x2+9xf(x) = -x^2 + 9x, y las rectas y=20y = 20 y x−y+15=0x - y + 15 = 0. (Nota: para el dibujo de la gráfica de la parábola, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y la concavidad o convexidad).
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la matriz A=(m010−1010m)A = \begin{pmatrix} m & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & m \end{pmatrix} a) Calcula, según los valores de mm, el rango de AA. b) ¿Coincide AA con su inversa para algún valor de mm? Para m=0m = 0, calcula A60A^{60}. c) Si m=2m = 2 y AA es la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, ¿podemos afirmar que el sistema tiene solución única? Justifica la respuesta.
a
Calcula, según los valores de mm, el rango de AA.
b
¿Coincide AA con su inversa para algún valor de mm? Para m=0m = 0, calcula A60A^{60}.
c
Si m=2m = 2 y AA es la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, ¿podemos afirmar que el sistema tiene solución única? Justifica la respuesta.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a) Dado el plano α:{x=3+3λ+μy=−3λ+μz=3+λ−μ\alpha: \begin{cases} x = 3 + 3\lambda + \mu \\ y = -3\lambda + \mu \\ z = 3 + \lambda - \mu \end{cases}, calcula las ecuaciones en forma continua de la recta rr que pasa por el punto P(2,−3,−4)P(2, -3, -4) y es perpendicular al plano α\alpha. Calcula el punto de corte de rr con α\alpha. b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que pasa por los puntos P(2,−3,−3)P(2, -3, -3) y Q(3,−2,−4)Q(3, -2, -4) y es perpendicular al plano α\alpha. c) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta intersección del plano β:5x−4y+z−19=0\beta: 5x - 4y + z - 19 = 0 con el plano α\alpha.
a
Dado el plano α:{x=3+3λ+μy=−3λ+μz=3+λ−μ\alpha: \begin{cases} x = 3 + 3\lambda + \mu \\ y = -3\lambda + \mu \\ z = 3 + \lambda - \mu \end{cases}, calcula las ecuaciones en forma continua de la recta rr que pasa por el punto P(2,−3,−4)P(2, -3, -4) y es perpendicular al plano α\alpha. Calcula el punto de corte de rr con α\alpha.
b
Calcula la ecuación implícita o general del plano que pasa por los puntos P(2,−3,−3)P(2, -3, -3) y Q(3,−2,−4)Q(3, -2, -4) y es perpendicular al plano α\alpha.
c
Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta intersección del plano β:5x−4y+z−19=0\beta: 5x - 4y + z - 19 = 0 con el plano α\alpha.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de f(x)=2x+1ex2f(x) = \frac{2x + 1}{e^{x^2}}.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a) Define primitiva de una función y enuncia la regla de Barrow. b) Calcula ∫23x3+2x2−1dx\int_2^3 \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1} dx.
a
Define primitiva de una función y enuncia la regla de Barrow.
b
Calcula ∫23x3+2x2−1dx\int_2^3 \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1} dx.
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