Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se proponen dos opciones A y B. Hay que elegir una de las opciones y contestar a sus cuestiones. La puntuación está detallada en cada una de las cuestiones o en sus distintas partes. Se permite el uso de calculadoras, pero los resultados, tanto analíticos como gráficos, deberán estar debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Discutir y resolver cuando sea posible el siguiente sistema lineal:{ax+y=0−2x+y+az=1y+az=1\begin{cases} ax + y = 0 \\ -2x + y + az = 1 \\ y + az = 1 \end{cases}1,75 pts
b
¿Existe algún valor del parámetro aa para el cual el vector (120)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} sea solución del sistema anterior?0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Utilizar el cambio de variable t3=1−xt^3 = 1 - x para calcular el siguiente límite:lim⁡x→0(1−x)1/3−1x\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 - x)^{1/3} - 1}{x}1 pt
b
Estudiar la continuidad de f(x)={x2+1x<11−xx≥1f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x < 1 \\ 1 - x & x \geq 1 \end{cases} y obtener ∫−1/21/2f(x)dx\int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea la función f(x)=xln⁡(1+x)−xln⁡(1−x)f(x) = x \ln(1 + x) - x \ln(1 - x) con x∈(0,1)x \in (0, 1).
a
Calcular sus extremos relativos.1,5 pts
b
Estudiar su crecimiento y decrecimiento y razonar si posee algún punto de inflexión.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcular el plano determinado por los puntos (1,0,0)(1, 0, 0), (0,1,0)(0, 1, 0), (0,0,1)(0, 0, 1).1 pt
b
Determinar el ángulo que forman los planos π1≡2x+y+z=2\pi_1 \equiv \sqrt{2}x + y + z = 2 y π2≡z=0\pi_2 \equiv z = 0.0,75 pts
c
Obtener el producto vectorial de a⃗=(2,0,1)\vec{a} = (2, 0, 1) y b⃗=(1,−1,3)\vec{b} = (1, -1, 3).0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la matriz A=(cos⁡αsen⁡α0−sen⁡αcos⁡α000β)A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sen \alpha & 0 \\ -\sen \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & \beta \end{pmatrix}
a
Estudiar si existen valores de α\alpha y β\beta para los cuales la matriz AA sea simétrica. ¿Será la matriz B=AATB = A A^T igual a la matriz identidad en algún caso?1 pt
b
Razonar cuál es la relación entre el determinante de AA y el de BB.0,75 pts
c
Discutir y resolver cuando sea posible el sistema B(xyz)=(111)B \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
El número de socios de una ONG viene dado por la función n(x)=2x3−15x2+24x+26n(x) = 2x^3 - 15x^2 + 24x + 26 donde xx indica el número de años desde su fundación.
a
Calcular el número de socios iniciales en el momento fundacional y en el quinto año.0,5 pts
b
¿En qué año ha habido el menor número de socios? ¿Cuántos fueron?1 pt
c
El cuarto año se produjo un cambio en la junta directiva, ¿influyó en el ascenso o descenso del número de socios?1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea f(x)=x1−1+xf(x) = \frac{x}{1 - \sqrt{1 + x}} una función definida en [−1,+∞)[-1, +\infty).
a
¿Cuánto debe valer f(0)f(0) para asegurar que f(x)f(x) es continua en su dominio? Calcular ∫12f(x)1+1+xdx\int_{1}^{2} \frac{f(x)}{1 + \sqrt{1 + x}} dx.1,5 pts
b
Para G(x)=∫1xf(t)1+1+tdtG(x) = \int_{1}^{x} \frac{f(t)}{1 + \sqrt{1 + t}} dt calcular G′(x)G'(x).1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Estudiar la posición relativa de la recta r≡x+13=y−2=z2r \equiv \frac{x + 1}{3} = y - 2 = \frac{z}{2} y el plano determinado por los puntos A(1,3,2)A(1, 3, 2), B(2,0,1)B(2, 0, 1) y C(1,4,3)C(1, 4, 3). ¿Son perpendiculares? Hallar la distancia del punto P(4/5,13/5,6/5)P(4/5, 13/5, 6/5) a la recta rr.
Ver este ejercicio