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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2010

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
a)0,5 pts
Enuncia el teorema de Bolzano.
b)1 pts
¿Se puede aplicar dicho teorema a la función f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{1 + x^2} en algún intervalo?
c)1 pts
Demuestra que la función f(x)f(x) anterior y g(x)=2x−1g(x) = 2x - 1 se cortan al menos en un punto.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
La velocidad de una partícula, medida en m/s\text{m/s}, está determinada en función del tiempo t≥0t \geq 0 medido en segundos, por la expresión v(t)=(t2+2t)e−tv(t) = (t^2 + 2t)e^{-t}. Se pide:
a)1,25 pts
¿En qué instante de tiempo del intervalo [0,3][0, 3] se alcanza la velocidad máxima?
b)1,25 pts
Calcula lim⁡t→∞v(t)\lim_{t \to \infty} v(t), e interpreta el resultado obtenido.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
a)0,5 pts
Representa gráficamente las parábolas f(x)=x2−3x−1f(x) = x^2 - 3x - 1 y g(x)=−x2+x+5g(x) = -x^2 + x + 5.
b)2 pts
Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Calcula la integral indefinida: ∫cos⁡x1+sen⁡2xdx\int \frac{\cos x}{1 + \sen^2 x} dx.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
a)1,5 pts
Clasifica en función del parámetro k∈Rk \in \mathbb{R} el sistema de ecuaciones {kx+y+z=kx+ky+z=kx+y+kz=k\begin{cases} kx + y + z = k \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k \end{cases}
b)1 pts
Resuélvelo, si es posible, para k=1k = 1.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Consideremos las matrices A=(2101)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y B=(2a−3b+2c)B = \begin{pmatrix} 2 & a - 3 \\ b + 2 & c \end{pmatrix}. Determina los valores a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} de forma que se cumpla que el determinante de la matriz BB sea igual a 88, y además se verifique que A⋅B=B⋅AA \cdot B = B \cdot A.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
a)1,5 pts
Estudia la posición relativa de la recta r≡{x=−λy=0z=1+λ,λ∈Rr \equiv \begin{cases} x = -\lambda \\ y = 0 \\ z = 1 + \lambda \end{cases}, \lambda \in \mathbb{R}, y el plano de ecuación general π≡2x−y+3z=6\pi \equiv 2x - y + 3z = 6.
b)1 pts
Encuentra la ecuación general de un plano π′\pi' perpendicular a π\pi que contenga a rr.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Dado el plano π≡x+z=4\pi \equiv x + z = 4 y el punto P(1,1,0)P(1, 1, 0), se pide:
a)1,25 pts
Encuentra la ecuación general del plano π′\pi' paralelo a π\pi que pasa por PP.
b)1,25 pts
Halla unas ecuaciones paramétricas de la recta rr perpendicular a π\pi que pasa por PP.
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