Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Instrucciones: El estudiante deberá resolver CUATRO de los ocho ejercicios propuestos, si resuelve más, se corregirán solo los cuatro primeros. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntuará 2,5 puntos. Duración de la prueba: 1 hora y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dadas las matricesA=(01110−20−10),B=(120−11−1)yC=(11120−2)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}
a
Calcula razonadamente la matriz inversa de A.1 pt
b
Calcula razonadamente la matriz X de la ecuación matricial AX+I3=BCAX + I_3 = BC, donde I3I_3 es la matriz identidad.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}:{x+2y+az=ax+ay+2z=a−x+y+z=1\begin{cases} x + 2y + az = a \\ x + ay + 2z = a \\ -x + y + z = 1 \end{cases}1,75 pts
b
Resuelve razonadamente el sistema anterior para a=2a = 2, si es posible.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Calcula razonadamente el siguiente límite: lim⁡x→0+(1x−1sen⁡(2x))\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\sen(2x)} \right).1 pt
b
Dada la funciónf(x)={2(x−1)si x≤1x−2si 1<x<2ln⁡(x−1)si x≥2f(x) = \begin{cases} 2^{(x - 1)} & \text{si } x \leq 1 \\ x - 2 & \text{si } 1 < x < 2 \\ \ln(x - 1) & \text{si } x \geq 2 \end{cases}donde ln⁡\ln es el logaritmo neperiano, estudia la continuidad de la función f(x)f(x) en x=1x = 1 y en x=2x = 2, y clasifica el tipo de discontinuidad si las hubiera.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcula las dimensiones de una caja de base cuadrada (prisma cuadrangular) sin tapa superior y con un volumen de 108 dm3108\,\text{dm}^3 para que la superficie total de la caja (formada por las caras laterales y la base) sea mínima.1,5 pts
b
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=x2+x−1f(x) = x^2 + x - 1 en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2,5 puntos
a
Calcula razonadamente la siguiente integral indefinida: ∫−dx1+ex\int \frac{-dx}{1 + e^x}. (Cambio de variable sugerido: ex=te^x = t.)1,25 pts
b
Determina justificadamente el área acotada que encierran las gráficas de las funciones f(x)=−x2+2x+4f(x) = -x^2 + 2x + 4 y g(x)=x+2g(x) = x + 2.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Sean el plano π≡x+2y−z−4=0\pi \equiv x + 2y - z - 4 = 0 y la recta r≡{x−2y−2=0y−z−2=0r \equiv \begin{cases} x - 2y - 2 = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{cases}.
a
Calcula razonadamente la distancia del punto P(1,2,−1)P(1, 2, -1) al plano π\pi.1 pt
b
Calcula razonadamente el área del triángulo que forman el punto intersección de la recta rr con el plano π\pi, y los puntos B(1,−1,2)B(1, -1, 2) y C(0,1,1)C(0, 1, 1).1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Dadas las rectas r≡{2x−2y=4z=0,s≡x3=y+2−2=z−11r \equiv \begin{cases} 2x - 2y = 4 \\ z = 0 \end{cases}, \quad\allowbreak s \equiv \frac{x}{3} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{1} y el punto P(−1,0,2)P(-1, 0, 2).
a
Determina razonadamente la posición relativa de las rectas rr y ss.1,25 pts
b
Halla razonadamente la ecuación general del plano que pasa por el punto PP y es paralelo a las rectas rr y ss.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 8

8
2,5 puntos
a
El 70 %70\,\% de los usuarios de instagram tiene menos de 34 años, el 25 %25\,\% entre 34 y 54 años (ambos incluidos) y el 5 %5\,\% más de 54 años. Se sabe que acceden a diario a dicha red: el 98 %98\,\% de los menores de 34 años, el 40 %40\,\% de los usuarios entre 34 y 54 años (ambos incluidos) y el 10 %10\,\% de los mayores de 54 años. Si se selecciona un usuario al azar:1,25 pts
a.1
¿qué probabilidad hay de que no acceda a diario a dicha red social?0,5 pts
a.2
Si el usuario seleccionado al azar confiesa que accede diariamente, ¿qué probabilidad hay de que pertenezca al grupo que tiene entre 34 y 54 años (ambos incluidos)?0,75 pts
b
El tiempo que un usuario de la red instagram pasa conectado a diario a dicha red social sigue una ley normal de media 53 minutos y desviación típica 10 minutos.1,25 pts
b.1
¿Qué probabilidad hay de que un usuario seleccionado al azar se conecte más de 30 minutos al día?0,5 pts
b.2
¿Qué porcentaje de usuarios (tanto por ciento) se conectan entre 4040 y 6767 minutos al día?0,75 pts
Ver este ejercicio