Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2020

Calcula razonadamente la matriz inversa de A.

Calcula razonadamente la matriz X de la ecuación matricial $AX + I_3 = BC$, donde $I_3$ es la matriz identidad.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x + 2y + az = a \\ x + ay + 2z = a \\ -x + y + z = 1 \end{cases}$$

Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a = 2$, si es posible.

Calcula razonadamente el siguiente límite: $\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\sen(2x)} \right)$.

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} 2^{(x - 1)} & \text{si } x \leq 1 \\ x - 2 & \text{si } 1 < x < 2 \\ \ln(x - 1) & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$ donde $\ln$ es el logaritmo neperiano, estudia la continuidad de la función $f(x)$ en $x = 1$ y en $x = 2$, y clasifica el tipo de discontinuidad si las hubiera.

Calcula las dimensiones de una caja de base cuadrada (prisma cuadrangular) sin tapa superior y con un volumen de $108\,\text{dm}^3$ para que la superficie total de la caja (formada por las caras laterales y la base) sea mínima.

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 + x - 1$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Calcula razonadamente la siguiente integral indefinida: $\int \frac{-dx}{1 + e^x}$. (Cambio de variable sugerido: $e^x = t$.)

Determina justificadamente el área acotada que encierran las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 2x + 4$ y $g(x) = x + 2$.

Calcula razonadamente la distancia del punto $P(1, 2, -1)$ al plano $\pi$.

Calcula razonadamente el área del triángulo que forman el punto intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$, y los puntos $B(1, -1, 2)$ y $C(0, 1, 1)$.

Determina razonadamente la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.

Halla razonadamente la ecuación general del plano que pasa por el punto $P$ y es paralelo a las rectas $r$ y $s$.

El $70\,\%$ de los usuarios de instagram tiene menos de 34 años, el $25\,\%$ entre 34 y 54 años (ambos incluidos) y el $5\,\%$ más de 54 años. Se sabe que acceden a diario a dicha red: el $98\,\%$ de los menores de 34 años, el $40\,\%$ de los usuarios entre 34 y 54 años (ambos incluidos) y el $10\,\%$ de los mayores de 54 años. Si se selecciona un usuario al azar:

El tiempo que un usuario de la red instagram pasa conectado a diario a dicha red social sigue una ley normal de media 53 minutos y desviación típica 10 minutos.