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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2021

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CUATRO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2,5 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que puedan almacenar datos o que puedan transmitir o recibir información. Puede utilizar las páginas en blanco (páginas 14 y 15) para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio. En este último caso, es necesario que lo indique claramente al final de la página de la cuestión correspondiente.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la parábola y=4−x2y = 4 - x^2 y un valor a>0a > 0.
a
Compruebe que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa x=ax = a es y=−2ax+a2+4y = -2ax + a^2 + 4 y calcule los puntos de corte de esta recta tangente con los ejes de coordenadas.1,25 pts
b
Calcule el valor de a>0a > 0 para que el área del triángulo determinado por esta recta tangente y los ejes de coordenadas sea mínima.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real pp:{px+y+z=22x+py+p2z=12x+y+z=2\begin{cases} px + y + z = 2 \\ 2x + py + p^2z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases}
a
Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro pp.1,5 pts
b
Resuelva, si es posible, el sistema para el caso p=2p = 2.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere el punto P=(−1,3,1)P = (-1, 3, 1), el plano π:x=y\pi : x = y y la recta r:x−12=y3=z−2r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = z - 2.
a
Halle las coordenadas del punto P′P' simétrico a PP respecto al plano π\pi.1,25 pts
b
De todos los planos que contienen la recta rr, halle la ecuación cartesiana del que es perpendicular al plano π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea la función f(x)=ln⁡(x)xf(x) = \frac{\ln(x)}{x} definida en el dominio x>0x > 0, en la que ln⁡\ln es el logaritmo neperiano.
a
Halle las coordenadas de un punto de la curva y=f(x)y = f(x) en el cual la recta tangente a la curva sea horizontal y analice si la función tiene un extremo relativo en este punto.1 pt
b
Determine si la función f(x)f(x) tiene alguna asíntota horizontal.0,5 pts
c
Calcule el área de la región delimitada por la curva y=f(x)y = f(x) y las rectas x=1x = 1 y x=ex = e. Haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función en el dominio 0<x<50 < x < 5, en el que quede representada el área que ha calculado.1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
a
Dada la matriz A=(001100010)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, resuelva la ecuación matricial A2X=A−3IA^2 X = A - 3I, en la que II es la matriz identidad.1,25 pts
b
Una matriz cuadrada MM satisface que M3−3M2+3M−I=0M^3 - 3M^2 + 3M - I = 0, en la que II es la matriz identidad. Justifique que MM es invertible y exprese la inversa de MM en función de las matrices MM e II.1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere la función f(x)=ex−1−x−1f(x) = e^{x-1} - x - 1.
a
Estudie su continuidad, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.1,25 pts
b
Demuestre que la ecuación f(x)=0f(x) = 0 tiene exactamente dos soluciones entre x=−1x = -1 y x=3x = 3.1,25 pts
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