Matemáticas II · Cataluña 2021

Compruebe que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa $x = a$ es $y = -2ax + a^2 + 4$ y calcule los puntos de corte de esta recta tangente con los ejes de coordenadas.

Calcule el valor de $a > 0$ para que el área del triángulo determinado por esta recta tangente y los ejes de coordenadas sea mínima.

Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $p$.

Resuelva, si es posible, el sistema para el caso $p = 2$.

Halle las coordenadas del punto $P'$ simétrico a $P$ respecto al plano $\pi$.

De todos los planos que contienen la recta $r$, halle la ecuación cartesiana del que es perpendicular al plano $\pi$.

Halle las coordenadas de un punto de la curva $y = f(x)$ en el cual la recta tangente a la curva sea horizontal y analice si la función tiene un extremo relativo en este punto.

Determine si la función $f(x)$ tiene alguna asíntota horizontal.

Calcule el área de la región delimitada por la curva $y = f(x)$ y las rectas $x = 1$ y $x = e$. Haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función en el dominio $0 < x < 5$, en el que quede representada el área que ha calculado.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, resuelva la ecuación matricial $A^2 X = A - 3I$, en la que $I$ es la matriz identidad.

Una matriz cuadrada $M$ satisface que $M^3 - 3M^2 + 3M - I = 0$, en la que $I$ es la matriz identidad. Justifique que $M$ es invertible y exprese la inversa de $M$ en función de las matrices $M$ e $I$.

Estudie su continuidad, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Demuestre que la ecuación $f(x) = 0$ tiene exactamente dos soluciones entre $x = -1$ y $x = 3$.