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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2018

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla binomial, tabla N(0,1) como anexo. El estudiante deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Dentro de cada opción el estudiante elegirá cuatro ejercicios entre los cinco propuestos. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos. Duración de la prueba: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Enuncia el teorema de Bolzano y justifica razonadamente que la gráfica de la función f(x)=x15+x+1f(x) = x^{15} + x + 1 corta al eje OX al menos una vez en el intervalo [−1,1][-1, 1].1,5 pts
b
Calcula razonadamente el número exacto de puntos de corte con el eje OX cuando xx recorre toda la recta real.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula razonadamente las siguientes integrales:
a
∫0π(x2−1)cos⁡x dx\int_{0}^{\pi} (x^2 - 1) \cos x \, dx1,25 pts
b
∫exe2x+ex−2 dx\int \frac{e^x}{e^{2x} + e^x - 2} \, dx1,25 pts
Datos
  • En la integral b) puede ayudarte hacer el cambio de variable ex=te^x = t
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}:{x+3y−az=4x+ay+z=2x+4y−5z=6\begin{cases} x + 3y - az = 4 \\ x + ay + z = 2 \\ x + 4y - 5z = 6 \end{cases}1,5 pts
b
Resuélvelo razonadamente para el valor a=2a = 2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dado el plano α≡4x+2y+4z−15=0\alpha \equiv 4x + 2y + 4z - 15 = 0 y el punto A(2,−3,1)A(2, -3, 1):
a
Calcula la distancia del punto AA al plano α\alpha.1 pt
b
Calcula razonadamente el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al plano α\alpha sea igual que la distancia del punto AA al plano α\alpha.1,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
a
Una planta industrial tiene tres máquinas. La máquina A produce 500 condensadores diarios, con un 3%3\% de defectuosos, la máquina B produce 700 con un 4%4\% de defectuosos y la C produce 800 con un 2%2\% de defectuosos. Al final del día se elige un condensador al azar.1,25 pts
a.1
Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuoso.0,75 pts
a.2
Si es defectuoso, calcula razonadamente la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A.0,5 pts
b
Lanzamos un dado perfecto cinco veces. Sea XX la variable "Número de múltiplos de tres que pueden salir".1,25 pts
b.1
Calcula razonadamente la media y la desviación típica de la variable XX.0,75 pts
b.2
Calcula razonadamente la probabilidad de obtener cuatro o más múltiplos de tres.0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Prueba que cualquiera que sea la constante aa la función f(x)=x3−5x2+7x+af(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + a cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [1,3][1, 3].0,75 pts
b
Calcula razonadamente un punto del intervalo abierto (1,3)(1, 3) cuya existencia asegura el teorema de Rolle.0,75 pts
c
Calcula razonadamente los puntos de la gráfica f(x)=x3−5x2+7xf(x) = x^3 - 5x^2 + 7x donde la recta tangente tenga la misma pendiente que la recta y=4x+2y = 4x + 2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dadas las funciones f(x)=2xe−xf(x) = 2xe^{-x} y g(x)=x2e−xg(x) = x^2e^{-x}, calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de esas funciones.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Encuentra los valores del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} para que la siguiente matriz tenga inversa:A=(a−11−10a−21a02)A = \begin{pmatrix} a - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & a - 2 & 1 \\ a & 0 & 2 \end{pmatrix}1 pt
b
Para a=2a = 2 calcula razonadamente A−1A^{-1} y comprueba el resultado.1 pt
c
Para a=0a = 0 calcula razonadamente el valor de los determinantes ∣A−1∣|A^{-1}| y ∣2A∣|2A|.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados los vectores u⃗=(0,1,1)\vec{u} = (0, 1, 1), v⃗=(1,1,−1)\vec{v} = (1, 1, -1) y w⃗=(2,0,3)\vec{w} = (2, 0, 3):
a
Determina el valor de λ∈R\lambda \in \mathbb{R} tal que el vector u⃗−λv⃗\vec{u} - \lambda \vec{v} sea perpendicular a w⃗\vec{w}.1 pt
b
¿Son linealmente dependientes los vectores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w}? Razona la respuesta.0,5 pts
c
Encuentra razonadamente las ecuaciones implícitas o cartesianas de la recta que pase por el punto P(2,0,2)P(2, 0, 2) y que sea perpendicular simultáneamente a los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
a
El 60%60\% del censo de una ciudad son mujeres. Las preferencias de las mujeres por los tres partidos que se presentan son: el 30%30\% vota a A, el 50%50\% a B y el resto a C; mientras que entre los hombres las preferencia son: el 10%10\% vota a A, el 60%60\% a B y el resto a C. Elegida al azar una persona del censo, calcula razonadamente la probabilidad de:1,25 pts
a.1
Ser hombre y votante de C.0,75 pts
a.2
Si resultó ser votante de B, que sea mujer.0,5 pts
b
Las notas que se han obtenido por 1000 opositores han seguido una distribución normal de media 4,054{,}05 y desviación típica 2,52{,}5.1,25 pts
b.1
¿Cuántos opositores han superado el 5? Razona la respuesta.0,75 pts
b.2
Si tenemos que adjudicar 330 plazas, calcula razonadamente la nota de corte.0,5 pts
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