Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2018

Enuncia el teorema de Bolzano y justifica razonadamente que la gráfica de la función $f(x) = x^{15} + x + 1$ corta al eje OX al menos una vez en el intervalo $[-1, 1]$.

Calcula razonadamente el número exacto de puntos de corte con el eje OX cuando $x$ recorre toda la recta real.

Prueba que cualquiera que sea la constante $a$ la función $f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + a$ cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[1, 3]$.

Calcula razonadamente un punto del intervalo abierto $(1, 3)$ cuya existencia asegura el teorema de Rolle.

Calcula razonadamente los puntos de la gráfica $f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x$ donde la recta tangente tenga la misma pendiente que la recta $y = 4x + 2$.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x + 3y - az = 4 \\ x + ay + z = 2 \\ x + 4y - 5z = 6 \end{cases}$$

Resuélvelo razonadamente para el valor $a = 2$.

Encuentra los valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que la siguiente matriz tenga inversa: $$A = \begin{pmatrix} a - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & a - 2 & 1 \\ a & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Para $a = 2$ calcula razonadamente $A^{-1}$ y comprueba el resultado.

Para $a = 0$ calcula razonadamente el valor de los determinantes $|A^{-1}|$ y $|2A|$.

Calcula la distancia del punto $A$ al plano $\alpha$.

Calcula razonadamente el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al plano $\alpha$ sea igual que la distancia del punto $A$ al plano $\alpha$.

Determina el valor de $\lambda \in \mathbb{R}$ tal que el vector $\vec{u} - \lambda \vec{v}$ sea perpendicular a $\vec{w}$.

¿Son linealmente dependientes los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$? Razona la respuesta.

Encuentra razonadamente las ecuaciones implícitas o cartesianas de la recta que pase por el punto $P(2, 0, 2)$ y que sea perpendicular simultáneamente a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

Una planta industrial tiene tres máquinas. La máquina A produce 500 condensadores diarios, con un $3\%$ de defectuosos, la máquina B produce 700 con un $4\%$ de defectuosos y la C produce 800 con un $2\%$ de defectuosos. Al final del día se elige un condensador al azar.

Lanzamos un dado perfecto cinco veces. Sea $X$ la variable "Número de múltiplos de tres que pueden salir".

El $60\%$ del censo de una ciudad son mujeres. Las preferencias de las mujeres por los tres partidos que se presentan son: el $30\%$ vota a A, el $50\%$ a B y el resto a C; mientras que entre los hombres las preferencia son: el $10\%$ vota a A, el $60\%$ a B y el resto a C. Elegida al azar una persona del censo, calcula razonadamente la probabilidad de:

Las notas que se han obtenido por 1000 opositores han seguido una distribución normal de media $4{,}05$ y desviación típica $2{,}5$.