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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a elegir entre las ocho que se proponen. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se calificará sobre 2,5 puntos. TIEMPO: 90 minutos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(210−102)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} y B=(b01b)B = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}
a
Calcular el determinante de AtAA^t A.0,5 pts
b
Calcular el rango de BABA en función de bb.0,5 pts
c
Calcular B−1B^{-1} para b=2b = 2.0,75 pts
d
Para b=1b = 1, calcular B5B^5.0,75 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Dado el sistema {−2x+y+kz=1kx−y−z=0−y+(k−1)z=3\begin{cases} -2x + y + kz = 1 \\ kx - y - z = 0 \\ -y + (k - 1)z = 3 \end{cases}, se pide:
a
Discutirlo en función del parámetro kk.1,25 pts
b
Resolverlo para k=3k = 3.0,5 pts
c
Resolverlo para k=3/2k = 3/2 y especificar, si es posible, una solución particular con x=2x = 2.0,75 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Un equipo de ingenieros realiza pruebas de consumo de un nuevo vehículo híbrido. El gasto en litros de combustible por cada 100 kilómetros en función de la velocidad, medida en decenas de kilómetros por hora, esc(v)={5v3si 0≤v<314−4v+v23si v≥3c(v) = \begin{cases} \frac{5v}{3} & \text{si } 0 \leq v < 3 \\ 14 - 4v + \frac{v^2}{3} & \text{si } v \geq 3 \end{cases}
a
Si en una primera prueba el vehículo tiene que circular a más de 3 decenas de kilómetros por hora, ¿a qué velocidad debe ir el vehículo para obtener un consumo mínimo?1 pt
b
Si en otra prueba el vehículo debe circular a una velocidad vv tal que 1≤v≤81 \leq v \leq 8, ¿cuáles serían el máximo y el mínimo consumo posibles del vehículo?1,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Dadas las funciones f(x)=2+2x−2x2yg(x)=2−6x+4x2+2x3,f(x) = 2 + 2x - 2x^2 \quad \text{y} \quad g(x) = 2 - 6x + 4x^2 + 2x^3, se pide:
a
Estudiar la derivabilidad de h(x)=∣f(x)∣h(x) = |f(x)|.1 pt
b
Hallar el área de la región acotada por las curvas y=f(x)y = f(x), y=g(x)y = g(x), x=0x = 0 y x=2x = 2.1,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Sean el plano π:z=1\pi : z = 1, los puntos P(1,1,1)P(1, 1, 1) y Q(0,0,1)Q(0, 0, 1) y la recta rr que pasa por los puntos PP y QQ.
a
Verifique que los puntos PP y QQ pertenecen al plano π\pi.0,25 pts
b
Halle una recta paralela a rr contenida en el plano z=0z = 0.1 pt
c
Halle una recta que pase por PP y tal que su proyección ortogonal sobre el plano π\pi sea la recta rr, con la cual forme un ángulo de π4\frac{\pi}{4} radianes.1,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dados el plano π:x+3y+2z+14=0\pi : x + 3y + 2z + 14 = 0 y la recta r≡{x=2z=5r \equiv \begin{cases} x = 2 \\ z = 5 \end{cases}
a
Hallar el punto del plano π\pi más próximo al origen de coordenadas.0,5 pts
b
Calcular la proyección ortogonal del eje OZOZ sobre el plano π\pi.1 pt
c
Hallar la recta con dirección perpendicular a rr, que esté contenida en π\pi, y que corte al eje OZOZ.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Sabiendo que P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(A∣B)=0,625P(A|B) = 0{,}625 y P(A∪B)=0,65P(A \cup B) = 0{,}65, se pide calcular:
a
P(B)P(B) y P(A∩B)P(A \cap B).1,5 pts
b
P(A∣A∪B)P(A | A \cup B) y P(A∩B∣A∪B)P(A \cap B | A \cup B).1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
El 65%65\% de los universitarios de 18 años que intentan superar el examen práctico de conducir lo consigue a la primera. Se escogen al azar 10 universitarios de 18 años que ya han superado el examen práctico de conducir. Se pide:
a
Calcular la probabilidad de que exactamente 3 de ellos necesitaran más de un intento para superar el examen práctico de conducir.0,75 pts
b
Calcular la probabilidad de que alguno de ellos haya necesitado más de un intento para superar el examen práctico de conducir.0,75 pts
c
Aproximando por una distribución normal, determinar la probabilidad de que, dados 60 de estos universitarios, como mínimo la mitad superase el examen práctico de conducir a la primera.1 pt
Datos
  • Ejemplo: si ZZ tiene distribución N(0,1)N(0, 1)
  • P(Z<0,45)=0,6736P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736
Gráfica de la distribución normal estándar N(0,1) con el área bajo la curva sombreada hasta un valor z.
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