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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2023

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(210−102)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} y B=(b01b)B = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}
a)0,5 pts
Calcular el determinante de AtAA^t A.
b)0,5 pts
Calcular el rango de BABA en función de bb.
c)0,75 pts
Calcular B−1B^{-1} para b=2b = 2.
d)0,75 pts
Para b=1b = 1, calcular B5B^5.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Dado el sistema {−2x+y+kz=1kx−y−z=0−y+(k−1)z=3\begin{cases} -2x + y + kz = 1 \\ kx - y - z = 0 \\ -y + (k - 1)z = 3 \end{cases}, se pide:
a)1,25 pts
Discutirlo en función del parámetro kk.
b)0,5 pts
Resolverlo para k=3k = 3.
c)0,75 pts
Resolverlo para k=3/2k = 3/2 y especificar, si es posible, una solución particular con x=2x = 2.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Un equipo de ingenieros realiza pruebas de consumo de un nuevo vehículo híbrido. El gasto en litros de combustible por cada 100 kilómetros en función de la velocidad, medida en decenas de kilómetros por hora, es c(v)={5v3si 0≤v<314−4v+v23si v≥3c(v) = \begin{cases} \frac{5v}{3} & \text{si } 0 \leq v < 3 \\ 14 - 4v + \frac{v^2}{3} & \text{si } v \geq 3 \end{cases}
a)1 pts
Si en una primera prueba el vehículo tiene que circular a más de 3 decenas de kilómetros por hora, ¿a qué velocidad debe ir el vehículo para obtener un consumo mínimo?
b)1,5 pts
Si en otra prueba el vehículo debe circular a una velocidad vv tal que 1≤v≤81 \leq v \leq 8, ¿cuáles serían el máximo y el mínimo consumo posibles del vehículo?
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Dadas las funciones f(x)=2+2x−2x2yg(x)=2−6x+4x2+2x3,f(x) = 2 + 2x - 2x^2 \quad \text{y} \quad g(x) = 2 - 6x + 4x^2 + 2x^3, se pide:
a)1 pts
Estudiar la derivabilidad de h(x)=∣f(x)∣h(x) = |f(x)|.
b)1,5 pts
Hallar el área de la región acotada por las curvas y=f(x)y = f(x), y=g(x)y = g(x), x=0x = 0 y x=2x = 2.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Sean el plano π:z=1\pi : z = 1, los puntos P(1,1,1)P(1, 1, 1) y Q(0,0,1)Q(0, 0, 1) y la recta rr que pasa por los puntos PP y QQ.
a)0,25 pts
Verifique que los puntos PP y QQ pertenecen al plano π\pi.
b)1 pts
Halle una recta paralela a rr contenida en el plano z=0z = 0.
c)1,25 pts
Halle una recta que pase por PP y tal que su proyección ortogonal sobre el plano π\pi sea la recta rr, con la cual forme un ángulo de π4\frac{\pi}{4} radianes.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dados el plano π:x+3y+2z+14=0\pi : x + 3y + 2z + 14 = 0 y la recta r≡{x=2z=5r \equiv \begin{cases} x = 2 \\ z = 5 \end{cases}
a)0,5 pts
Hallar el punto del plano π\pi más próximo al origen de coordenadas.
b)1 pts
Calcular la proyección ortogonal del eje OZOZ sobre el plano π\pi.
c)1 pts
Hallar la recta con dirección perpendicular a rr, que esté contenida en π\pi, y que corte al eje OZOZ.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Sabiendo que P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(A∣B)=0,625P(A|B) = 0{,}625 y P(A∪B)=0,65P(A \cup B) = 0{,}65, se pide calcular:
a)1,5 pts
P(B)P(B) y P(A∩B)P(A \cap B).
b)1 pts
P(A∣A∪B)P(A | A \cup B) y P(A∩B∣A∪B)P(A \cap B | A \cup B).
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
El 65%65\% de los universitarios de 18 años que intentan superar el examen práctico de conducir lo consigue a la primera. Se escogen al azar 10 universitarios de 18 años que ya han superado el examen práctico de conducir. Se pide:
a)0,75 pts
Calcular la probabilidad de que exactamente 3 de ellos necesitaran más de un intento para superar el examen práctico de conducir.
b)0,75 pts
Calcular la probabilidad de que alguno de ellos haya necesitado más de un intento para superar el examen práctico de conducir.
c)1 pts
Aproximando por una distribución normal, determinar la probabilidad de que, dados 60 de estos universitarios, como mínimo la mitad superase el examen práctico de conducir a la primera.
Datos
  • Ejemplo: si ZZ tiene distribución N(0,1)N(0, 1), P(Z<0,45)=0,6736P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736
Gráfica de la distribución normal estándar N(0,1) con el área bajo la curva sombreada hasta un valor z.
Gráfica de la distribución normal estándar N(0,1) con el área bajo la curva sombreada hasta un valor z.
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