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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2016

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solamente UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se da el sistema {x+y+2z=2−3x+2y+3z=−22x+αy−5z=−4\begin{cases} x + y + 2z = 2 \\ -3x + 2y + 3z = -2 \\ 2x + \alpha y - 5z = -4 \end{cases} donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La solución del sistema cuando α=0\alpha = 0.3 pts
b
El valor del parámetro α\alpha para el que el sistema es incompatible.3 pts
c
Los valores del parámetro α\alpha para los que el sistema es compatible y determinado y obtener la solución del sistema en función del parámetro α\alpha.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan los puntos A=(0,0,1)A = (0, 0, 1), B=(1,0,−1)B = (1, 0, -1), C=(0,1,−2)C = (0, 1, -2) y D=(1,2,0)D = (1, 2, 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La ecuación del plano π\pi que contiene a los puntos AA, BB y CC.3 pts
b
La justificación de que los cuatro puntos AA, BB, CC y DD, no son coplanarios.2 pts
c
La distancia del punto DD al plano π\pi, y el volumen del tetraedro cuyos vértices son AA, BB, CC y DD.5 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se da la función ff definida por f(x)=x2+∣x∣f(x) = x^2 + |x|, donde xx es un nombre real cualquiera y ∣x∣|x| representa el valor absoluto de xx. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El punto o puntos donde la gráfica de la función ff corta a los ejes de coordenadas.2 pts
b
La justificación de que la curva y=f(x)y = f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas.1 pt
c
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función ff, y el extremo relativo de la función ff, justificando si es máximo o mínimo relativo.3 pts
d
La representación gráfica de dicha curva y=f(x)y = f(x).1 pt
e
Las integrales definidas ∫−10f(x)dx\int_{-1}^{0} f(x) dx y ∫02f(x)dx\int_{0}^{2} f(x) dx.3 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Se dan las matrices A=(11−1121011)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B=(01−121210−1)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} e I=(100010001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El determinante de las matrices A⋅(2B2)A \cdot (2B^2) y A⋅(2B2)⋅(3A)−1A \cdot (2B^2) \cdot (3A)^{-1}.3 pts
b
Las matrices A−1A^{-1} y ((B⋅A)−1⋅B)−1((B \cdot A)^{-1} \cdot B)^{-1}.4 pts
c
La solución de la ecuación matricial A⋅X+B⋅X=3IA \cdot X + B \cdot X = 3I.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan los planos π:x+y+z=1\pi: x + y + z = 1 y σ:ax+by+z=0\sigma: ax + by + z = 0, donde aa y bb son dos parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los valores de aa y bb para los que el plano σ\sigma pasa por el punto (1,2,3)(1, 2, 3) y, además, dicho plano σ\sigma es perpendicular al plano π\pi.3 pts
b
Los valores de aa y bb para los cuales sucede que el plano σ\sigma pasa por el punto (0,1,1)(0, 1, 1) y la distancia del punto (1,0,1)(1, 0, 1) al plano σ\sigma es 11.3 pts
c
Los valores de aa y bb para los que la intersección de los planos π\pi y σ\sigma es la recta rr para la que el vector (3,2,−5)(3, 2, -5) es un vector director de dicha recta rr, y obtener las coordenadas de un punto cualquiera de la recta rr.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
La diferencia de potencial xx entre dos puntos de un circuito eléctrico provoca el paso de una corriente eléctrica de intensidad yy, que está relacionada con la diferencia de potencial xx por la ecuación y=−x2−x+6y = -x^2 - x + 6, siendo 0≤x≤20 \leq x \leq 2. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La gráfica de la función f(x)=−x2−x+6f(x) = -x^2 - x + 6 y deducir, gráfica o analíticamente, el valor de la intensidad yy cuando la diferencia de potencial xx es 00 y el valor de la diferencia de potencial xx al que corresponde una intensidad yy igual a 00, siendo 0≤x≤20 \leq x \leq 2.4 pts
b
El valor de la diferencia de potencial xx para el que es máximo el producto y⋅xy \cdot x de la intensidad yy por la diferencia de potencial xx, cuando 0≤x≤20 \leq x \leq 2, y obtener el valor máximo de dicho producto y⋅xy \cdot x, cuando 0≤x≤20 \leq x \leq 2.3 pts
c
El área de la superficie situada en el primer cuadrante limitada por la curva y=f(x)y = f(x), el eje de abscisas y el eje de ordenadas.3 pts
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