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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2016

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Se da el sistema {x+y+2z=2−3x+2y+3z=−22x+αy−5z=−4\begin{cases} x + y + 2z = 2 \\ -3x + 2y + 3z = -2 \\ 2x + \alpha y - 5z = -4 \end{cases} donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
La solución del sistema cuando α=0\alpha = 0.
b)3 pts
El valor del parámetro α\alpha para el que el sistema es incompatible.
c)4 pts
Los valores del parámetro α\alpha para los que el sistema es compatible y determinado y obtener la solución del sistema en función del parámetro α\alpha.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Se dan las matrices A=(11−1121011)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B=(01−121210−1)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} e I=(100010001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
El determinante de las matrices A⋅(2B2)A \cdot (2B^2) y A⋅(2B2)⋅(3A)−1A \cdot (2B^2) \cdot (3A)^{-1}.
b)4 pts
Las matrices A−1A^{-1} y ((B⋅A)−1⋅B)−1((B \cdot A)^{-1} \cdot B)^{-1}.
c)3 pts
La solución de la ecuación matricial A⋅X+B⋅X=3IA \cdot X + B \cdot X = 3I.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Se dan los puntos A=(0,0,1)A = (0, 0, 1), B=(1,0,−1)B = (1, 0, -1), C=(0,1,−2)C = (0, 1, -2) y D=(1,2,0)D = (1, 2, 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
La ecuación del plano π\pi que contiene a los puntos AA, BB y CC.
b)2 pts
La justificación de que los cuatro puntos AA, BB, CC y DD, no son coplanarios.
c)5 pts
La distancia del punto DD al plano π\pi, y el volumen del tetraedro cuyos vértices son AA, BB, CC y DD.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Se dan los planos π:x+y+z=1\pi: x + y + z = 1 y σ:ax+by+z=0\sigma: ax + by + z = 0, donde aa y bb son dos parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
Los valores de aa y bb para los que el plano σ\sigma pasa por el punto (1,2,3)(1, 2, 3) y, además, dicho plano σ\sigma es perpendicular al plano π\pi.
b)3 pts
Los valores de aa y bb para los cuales sucede que el plano σ\sigma pasa por el punto (0,1,1)(0, 1, 1) y la distancia del punto (1,0,1)(1, 0, 1) al plano σ\sigma es 11.
c)4 pts
Los valores de aa y bb para los que la intersección de los planos π\pi y σ\sigma es la recta rr para la que el vector (3,2,−5)(3, 2, -5) es un vector director de dicha recta rr, y obtener las coordenadas de un punto cualquiera de la recta rr.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Se da la función ff definida por f(x)=x2+∣x∣f(x) = x^2 + |x|, donde xx es un nombre real cualquiera y ∣x∣|x| representa el valor absoluto de xx. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)2 pts
El punto o puntos donde la gráfica de la función ff corta a los ejes de coordenadas.
b)1 pts
La justificación de que la curva y=f(x)y = f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas.
c)3 pts
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función ff, y el extremo relativo de la función ff, justificando si es máximo o mínimo relativo.
d)1 pts
La representación gráfica de dicha curva y=f(x)y = f(x).
e)3 pts
Las integrales definidas ∫−10f(x)dx\int_{-1}^{0} f(x) dx y ∫02f(x)dx\int_{0}^{2} f(x) dx.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
La diferencia de potencial xx entre dos puntos de un circuito eléctrico provoca el paso de una corriente eléctrica de intensidad yy, que está relacionada con la diferencia de potencial xx por la ecuación y=−x2−x+6y = -x^2 - x + 6, siendo 0≤x≤20 \leq x \leq 2. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
La gráfica de la función f(x)=−x2−x+6f(x) = -x^2 - x + 6 y deducir, gráfica o analíticamente, el valor de la intensidad yy cuando la diferencia de potencial xx es 00 y el valor de la diferencia de potencial xx al que corresponde una intensidad yy igual a 00, siendo 0≤x≤20 \leq x \leq 2.
b)3 pts
El valor de la diferencia de potencial xx para el que es máximo el producto y⋅xy \cdot x de la intensidad yy por la diferencia de potencial xx, cuando 0≤x≤20 \leq x \leq 2, y obtener el valor máximo de dicho producto y⋅xy \cdot x, cuando 0≤x≤20 \leq x \leq 2.
c)3 pts
El área de la superficie situada en el primer cuadrante limitada por la curva y=f(x)y = f(x), el eje de abscisas y el eje de ordenadas.
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