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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2024

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
Dado el sistema de ecuaciones: (011λ−1111λ−11)⋅(xyz)=(1λ0)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ \lambda - 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda - 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \\ 0 \end{pmatrix}, dependiente del parámetro λ\lambda. Se pide:
a)
Discutir el sistema en función de los valores de λ\lambda.
b)
Resolver el sistema en el caso λ=1\lambda = 1 y encontrar, si es posible, una solución con x=5x = 5.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
Se pide:
a)
Proponga un ejemplo de función polinómica de grado 2 cuya gráfica sea tangente a la recta y=xy = x en el punto O(0,0)O(0,0).
b)
Proponga un ejemplo de función polinómica de grado 2 que tenga un máximo relativo en el punto P(1,1)P(1,1).
c)
Justifique si una función polinómica de grado 2 puede tener dos extremos relativos en R\mathbb{R}.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
Sean los puntos P(1,−1,3)P(1,-1,3) y Q(2,1,−1)Q(2,1,-1):
a)
Determine una ecuación del plano respecto del cual ambos puntos son simétricos.
b)
El segmento PQPQ es uno de los tres lados del triángulo cuya suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados es 34 y el tercer vértice se encuentra en la recta de ecuación r≡x−2=y=zr \equiv x - 2 = y = z. Calcule las coordenadas del tercer vértice sabiendo que ninguna de sus coordenadas es nula.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
En un espacio muestral se tienen dos sucesos incompatibles, A1A_1 y A2A_2, de igual probabilidad 0,40{,}4 y se considera A3=A1∪A2A_3 = A_1 \cup A_2 (por tanto, la probabilidad de A3A_3 es 0,80{,}8). De cierto suceso BB se sabe que P(B/A1)=P(B/A2)P(B/A_1) = P(B/A_2) y P(B/A3)=2⋅P(B/A1)P(B/A_3) = 2 \cdot P(B/A_1). Y de un suceso CC independiente de A1A_1 se sabe que P(C/A2)=0,3P(C/A_2) = 0{,}3 y P(C/A3)=0,6P(C/A_3) = 0{,}6. Con estos datos se pide:
a)
Calcular la probabilidad de BB si P(B/A1)=0,25P(B/A_1) = 0{,}25.
b)
Calcular la probabilidad de CC y determinar si CC es independiente de A2A_2.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
Como es bien sabido, la igualdad de determinantes det⁡(A+B)=det⁡A+det⁡B\det(A + B) = \det A + \det B no es cierta, en general.
a)
Si AA y BB son dos matrices para las que det⁡(A+B)=det⁡A+det⁡B\det(A + B) = \det A + \det B, pruebe que entonces det⁡[(A+B)2]=det⁡(A2)+det⁡(B2)+2⋅det⁡(AB)\det[(A + B)^2] = \det(A^2) + \det(B^2) + 2 \cdot \det(AB).
b)
Dadas las matrices C=(10−1a102−1a)C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ a & 1 & 0 \\ 2 & -1 & a \end{pmatrix} y D=(101212−121)D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, determine el único valor de aa con el que sí se cumple la igualdad det⁡(C+D)=det⁡C+det⁡D\det(C + D) = \det C + \det D.
c)
Para el valor a=−1a = -1, resuelva el sistema homogéneo de ecuaciones lineales que tiene a CC como matriz de coeficientes.
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
Dada la función f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x, se pide:
a)
Estudiar si es par o impar y calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b)
Calcular el área de la región acotada delimitada por las gráficas de las funciones f(x)f(x) y g(x)=x(x−3)g(x) = x(x - 3).
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
Dado el punto P(5,−1,2)P(5, -1, 2) y las rectas r≡x−23=y+1−1=z−01r \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 0}{1} y s≡{x−y=5x+z=3s \equiv \begin{cases} x - y = 5 \\ x + z = 3 \end{cases}, se pide:
a)
Estudiar la posición relativa de ambas rectas y hallar la distancia entre ellas.
b)
Determinar una ecuación de la recta que pasa por PP y corta perpendicularmente a la recta rr.
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
Antonio y Benito, compañeros de piso, lanzan alternadamente un dardo cinco veces a una diana para decidir quién friega. Friega quien menos veces acierte el centro de la diana. En caso de empate, friegan juntos. Si Antonio acierta en el centro de la diana el 25%25\% de sus lanzamientos y Benito en el 30%30\%, se pide:
a)
Calcular la probabilidad de que no haga falta llegar al cuarto lanzamiento para decidir quién friega.
b)
Aproximando por una normal, calcular la probabilidad de que Antonio falle el centro de la diana en al menos dos terceras partes de 60 lanzamientos.
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