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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2013

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: Hora y media.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dados el punto P(−1,0,2)P(-1, 0, 2) y las rectas:r≡{x−z=1y−z=−1,s≡{x=1+λy=λz=3 r \equiv \begin{cases} x - z = 1 \\ y - z = -1 \end{cases}, \qquad s \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 3 \end{cases} se pide:
a
Determinar la posición relativa de rr y ss.1 pt
b
Determinar la ecuación de la recta que pasa por PP y corta a rr y ss.1 pt
c
Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a rr y ss.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales:{ax+7y+5z=0x+ay+z=3y+z=−2 \begin{cases} ax + 7y + 5z = 0 \\ x + ay + z = 3 \\ y + z = -2 \end{cases} se pide:
a
Discutirlo según los valores de aa.2 pts
b
Resolverlo en el caso a=4a = 4.0,5 pts
c
Resolverlo en el caso a=2a = 2.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)=x3(x−3)2f(x) = \frac{x^3}{(x - 3)^2}, se pide:
a
Hallar las asíntotas de su gráfica.1 pt
b
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisa x=2x = 2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcular las siguientes integrales:
a
I1=∫x−1x2+xdxI_1 = \int \frac{x - 1}{x^2 + x} dx1 pt
b
I2=∫01xex2dxI_2 = \int_0^1 x e^{x^2} dx1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la función f(x)=2cos⁡2xf(x) = 2 \cos^2 x, se pide:
a
Determinar los extremos absolutos de f(x)f(x) en [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].1 pt
b
Determinar los puntos de inflexión de f(x)f(x) en [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].1 pt
c
Calcular ∫0π/2f(x)dx\int_0^{\pi/2} f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dadas las matrices:A=(1λ01120−1−1),B=(01110−1210) A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} , se pide:
a
Hallar el valor de λ\lambda para el cual la ecuación matricial XA=BXA = B tiene solución única.1 pt
b
Calcular la matriz XX para λ=4\lambda = 4.1 pt
c
Calcular el determinante de la matriz A2BA^2 B en función de λ\lambda.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Hallar los puntos de corte de la recta de dirección (2,1,1)(2, 1, 1) y que pasa por el punto P(4,6,2)P(4, 6, 2), con la superficie esférica de centro C(1,2,−1)C(1, 2, -1) y radio 26\sqrt{26}.1 pt
b
Hallar la distancia del punto Q(−2,1,0)Q(-2, 1, 0) a la rectar≡x−12=y+2=z−32 r \equiv \frac{x - 1}{2} = y + 2 = \frac{z - 3}{2} 1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dados el punto P(1,0,−1)P(1, 0, -1), el plano π≡2x−y+z+1=0\pi \equiv 2x - y + z + 1 = 0 y la rectar≡{−2x+y−1=03x−z−3=0 r \equiv \begin{cases} -2x + y - 1 = 0 \\ 3x - z - 3 = 0 \end{cases} se pide:
a
Determinar la ecuación del plano que pasa por PP, es paralelo a la recta rr y perpendicular al plano π\pi.1,5 pts
b
Hallar el ángulo entre rr y π\pi.0,5 pts
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