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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. b) Tiene que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Conteste de forma razonada y escriba ordenadamente y con letra clara. d) Todos los procesos que conducen a resultados deben estar suficientemente justificados y completamente explicados.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el sistema{x+y+z=2ax+y=1x+y+2z=3\begin{cases} x + y + z = 2 \\ a x + y = 1 \\ x + y + 2 z = 3 \end{cases}
a
Estudie su compatibilidad según los distintos valores de aa.1 pt
b
Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere los planos π1:2x−y+z=0\pi_1 : 2x - y + z = 0 y π2:z−3=0\pi_2 : z - 3 = 0.
a
Estudie la posición relativa de π1\pi_1 y π2\pi_2.1,25 pts
b
Encuentre, si es posible, una recta paralela a π1\pi_1 y a π2\pi_2 que pase por el punto (2,2,−1)(2, 2, -1).1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcule lim⁡x→1(1x−1−1ln⁡x)\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{\ln x} \right).
Datos
  • ln⁡x\ln x denota el logaritmo neperiano de xx
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Las curvas y=exy = e^x, y=e−xy = e^{-x} y la recta x=1x = 1 limitan un recinto finito en el plano.
a
Dibuje un esquema del recinto.1 pt
b
Calcule su área.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dados los números reales a,b,c,xa, b, c, x, consideremos la matriz A=(xbc−4ax3bcx)A = \begin{pmatrix} x & b & c - 4 \\ a & x & 3 \\ b & c & x \end{pmatrix}.
Datos
  • AtA^t denota la matriz traspuesta de AA
a
Halle los valores de a,b,c,xa, b, c, x, para los cuales AA es antisimétrica. (Recuerde que la matriz AA es antisimétrica si At=−AA^t = -A).0,75 pts
b
Si a=b=c=1a = b = c = 1, halle el rango de AA según los valores de xx.1 pt
c
Si a=b=c=0a = b = c = 0, resuelva la ecuación ∣A+At∣=0|A + A^t| = 0.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Determine el valor de kk para que los puntos A(0,2,1)A(0, 2, 1), B(1,−2,0)B(1, -2, 0), C(2,0,3)C(2, 0, 3) y D(1,1,k)D(1, 1, k) se encuentren en el mismo plano.1 pt
b
Halle la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por los puntos AA, BB y CC.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por:f(x)={msi x=0ex−1xsi x≠0f(x) = \begin{cases} m & \text{si } x = 0 \\ \frac{e^x - 1}{x} & \text{si } x \neq 0 \end{cases}donde m∈Rm \in \mathbb{R}.
a
Calcule mm para que la función sea continua en x=0x = 0.1,25 pts
b
Para el valor de mm calculado estudie, usando la definición de derivada, si la función ff es derivable en x=0x = 0.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se considera la curva de ecuación y=x3−2x2+xy = x^3 - 2x^2 + x.
a
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa curva en el origen.0,75 pts
b
Dibuje un esquema del recinto limitado por la gráfica de la curva y la recta hallada.0,5 pts
c
Calcule el área de ese recinto.1,25 pts
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