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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2021Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2021

12 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo. El examen está compuesto de 3 secciones de dos bloques cada una. A su vez cada bloque tiene dos ejercicios. El alumno deberá elegir un bloque de cada una de las tres secciones. Se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora.

Ejercicio 1 · bloque 1

1bloque 1
1,5 puntos
Sección 1Bloque 1
En el siguiente problema de programación lineal maximiza la función f(x,y)=12x−2yf(x, y) = 12x - 2y sujeta a las siguientes restricciones:{x≥yx+y≥0x≤3\begin{cases} x \geq y \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 3 \end{cases}
a
Dibuja la región factible.1 pt
b
Determina los vértices de la región factible.0,25 pts
c
Indica el máximo del problema dado y su valor.0,25 pts
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Ejercicio 1 · bloque 2

1bloque 2
1,5 puntos
Sección 1Bloque 2
Se considera la función f(x)={x+3+tsi x≤1(x−3)2+tsi x>1f(x) = \begin{cases} x + 3 + t & \text{si } x \leq 1 \\ (x - 3)^2 + t & \text{si } x > 1 \end{cases}
a
¿Para qué valor de tt la función f(x)f(x) es continua en x=1x = 1?0,5 pts
b
Para t=0t = 0, calcula los extremos relativos de la función f(x)f(x) en el intervalo (1,+∞)(1, +\infty).0,5 pts
c
Para t=0t = 0, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x) en (1,+∞)(1, +\infty).0,5 pts
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Ejercicio 2 · bloque 1

2bloque 1
1,5 puntos
Sección 1Bloque 1
En un examen final de historia al que se presentan 120 alumnos se deja elegir entre 3 opciones (A, B o C). El número de personas que elige la opción A es el triple de número que resulta al sumar las opciones B y C. Hay el doble de personas que realizan la opción C que las que escogen B.
a
Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos alumnos eligen cada opción.1 pt
b
Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 2 · bloque 2

2bloque 2
1,5 puntos
Sección 1Bloque 2
La función f(x)=ax3+bx2+cxf(x) = ax^3 + bx^2 + cx tiene un punto de inflexión en (−1,6)(-1, 6) y en el punto de abscisa x=−2x = -2 la pendiente de la recta tangente es −4-4. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros aa, bb y cc.
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Ejercicio 3 · bloque 1

3bloque 1
1,5 puntos
Sección 2Bloque 1
En un municipio el 5%5\% de las personas está en un ERE. De las personas que están en un ERE, el 40%40\% pertenece al sector turístico. Del resto de las personas del municipio, se sabe que el 10%10\% de ellos pertenece al sector turístico.
a
Calcula la probabilidad de que elegida una persona al azar del municipio trabaje en el sector turístico.0,75 pts
b
Sabiendo que una persona pertenece al sector turístico, ¿cuál es la probabilidad de que esté en un ERE?0,75 pts
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Ejercicio 3 · bloque 2

3bloque 2
1,5 puntos
Sección 2Bloque 2
Se considera la función f(x)={−(x−t)2si x<0−2si x=0x2−2si x>0f(x) = \begin{cases} -(x - t)^2 & \text{si } x < 0 \\ -2 & \text{si } x = 0 \\ x^2 - 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}
a
Halla el valor de tt para que ff sea continua en x=0x = 0.0,5 pts
b
Para t=−1t = -1, representa gráficamente la función f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 4 · bloque 1

4bloque 1
2 puntos
Sección 2Bloque 1
El tiempo de uso de móvil por día de los alumnos de un instituto sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=20\sigma = 20 minutos. Se eligió una muestra aleatoria de 36 alumnos y se observó que la media de tiempo usando el móvil para esa muestra era de 2 horas.
z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
1.80.96410.96490.96560.96640.96710.96780.96860.96930.96990.9706
1.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97610.9767
a
Halla un intervalo de confianza para la media de tiempo de uso de móvil por día con un nivel de confianza del 95%95\%.0,75 pts
b
¿Se puede admitir que la media poblacional sea μ=1,3\mu = 1{,}3 horas con un nivel de confianza del 95%95\%? Explica razonadamente cómo se podría aumentar o disminuir la amplitud del intervalo. Razona tus respuestas.0,5 pts
c
¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del 94,64%94{,}64\%?0,75 pts
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Ejercicio 4 · bloque 2

4bloque 2
2 puntos
Sección 2Bloque 2
Se localiza un compuesto nocivo en un río obteniéndose que su proporción durante cinco días consecutivos de análisis de muestras sigue la función: N(x)=1100(−4x4+128x2+54)N(x) = \frac{1}{100}(-4x^4 + 128x^2 + 54) con x=dıˊasx = \text{días} y (1≤x≤5)(1 \leq x \leq 5).
a
¿Cuál es la proporción el tercer día?0,25 pts
b
Determina qué día se obtiene el máximo y qué día se obtiene el mínimo.1 pt
c
¿A qué valor ascienden ambos?0,75 pts
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Ejercicio 5 · bloque 1

5bloque 1
1,5 puntos
Sección 3Bloque 1
En una clase de un ciclo formativo de formación profesional hay 27 alumnos, 14 son de Albacete, 5 son de Cuenca y 8 de Toledo.
a
Se sortean dos entradas entre todos los alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que ambas entradas le toquen a alumnos que no son de Albacete? (pueden tocarle al mismo alumno las dos entradas).0,75 pts
b
Si sorteamos 5 entradas, de una en una, de forma que no participa en el sorteo la persona que ya le haya tocado una entrada, ¿cuál es la probabilidad de que las 5 sean para alumnos de Toledo?0,75 pts
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Ejercicio 5 · bloque 2

5bloque 2
2 puntos
Sección 3Bloque 2
Se realiza una encuesta a los habitantes de un pueblo (con respuestas SI, NO o NO SABE/NO CONTESTA) sobre la necesidad de construir otra piscina cubierta. Se pregunta a las 600 personas mayores de edad que viven en el pueblo y los que dicen NO son la mitad de los que NO SABE/NO CONTESTA. Por estudios paralelos de fiabilidad se sabe que el 30%30\% del total de los que contestan SI o NO, mienten, y el total de estos últimos son 135 personas:
a
Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar qué cantidad de personas eligen cada respuesta.1,5 pts
b
Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 6 · bloque 1

6bloque 1
2 puntos
Sección 3Bloque 1
Se ha tomado una muestra aleatoria del contenido en gramos de azúcar de 10 latas de refresco de cola y ha resultado ser: 70, 75, 85, 100, 60, 80, 120, 95, 65 y 90. Suponiendo que el contenido en azúcar en gramos de una lata de refresco de cola se distribuye según una ley normal de desviación típica σ=10\sigma = 10 gramos, se pide:
z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
2.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817
2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857
a
Halla el intervalo de confianza del 97%97\% para el contenido medio de azúcar en una lata de refresco de cola.1 pt
b
Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confianza.0,5 pts
c
¿Crees que la media poblacional μ\mu del contenido en gramos de azúcar es de 90 gramos con una probabilidad del 98,5%98{,}5\%? Razona tu respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 6 · bloque 2

6bloque 2
1,5 puntos
Sección 3Bloque 2
a
Dadas las matrices M=(−2−311)M = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} y N=(1−21−1)N = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} comprueba que (M⋅N)−1=N−1⋅M−1(M \cdot N)^{-1} = N^{-1} \cdot M^{-1}.1 pt
b
Resuelve la ecuación M⋅X=NM \cdot X = N.0,5 pts
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