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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación: Las preguntas 1a1^{\mathrm{a}} y 2a2^{\mathrm{a}} se valorarán sobre 3 puntos; las preguntas 3a3^{\mathrm{a}} y 4a4^{\mathrm{a}} sobre 2 puntos. Tiempo: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la funciónf(x)=1x+1+xx+4,f(x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{x}{x + 4},se pide:
a
Determinar el dominio de ff y sus asíntotas.1 pt
b
Calcular f′(x)f'(x) y determinar los extremos relativos de f(x)f(x).1 pt
c
Calcular ∫01f(x)dx\int_{0}^{1} f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dadas las matrices:A=(1aa1a1a−1a2),X=(xyz),O=(000),A = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ 1 & a & 1 \\ a - 1 & a & 2 \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \qquad O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},se pide:
a
Determinar el valor o valores de aa para los cuales no existe la matriz inversa A−1A^{-1}.1 pt
b
Para a=2a = 2, hallar la matriz inversa A−1A^{-1}.1 pt
c
Para a=1a = 1, calcular todas las soluciones del sistema lineal AX=OAX = O.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dados los puntos A(2,0,−2),B(3,−4,−1),C(5,4,−3)A(2, 0, -2), B(3, -4, -1), C(5, 4, -3) y D(0,1,4)D(0, 1, 4), se pide:
a
Calcular el área del triángulo de vértices A,BA, B y CC.1 pt
b
Calcular el volumen del tetraedro ABCDABCD.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dados los planosπ1≡2x+z−1=0,π2≡x+z+2=0,π3≡x+3y+2z−3=0,\pi_{1} \equiv 2x + z - 1 = 0, \qquad \pi_{2} \equiv x + z + 2 = 0, \qquad \pi_{3} \equiv x + 3y + 2z - 3 = 0,se pide:
a
Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por π1\pi_{1} y π2\pi_{2}.1 pt
b
Calcular el seno del ángulo que la recta del apartado anterior forma con el plano π3\pi_{3}.1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dados el plano π\pi y la recta rr siguientes:π≡2x−y+2z+3=0,r≡{x=1−2t,y=2−2t,z=1+t,\pi \equiv 2x - y + 2z + 3 = 0, \qquad r \equiv \begin{cases} x = 1 - 2t, \\ y = 2 - 2t, \\ z = 1 + t, \end{cases}se pide:
a
Estudiar la posición relativa de rr y π\pi.1 pt
b
Calcular la distancia entre rr y π\pi.1 pt
c
Obtener el punto P′P' simétrico de P(3,2,1)P(3, 2, 1) respecto del plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la función:f(x)={5sen⁡x2x+12,si x<0,a,si x=0,xex+3,si x>0,f(x) = \begin{cases} \frac{5 \sen x}{2x} + \frac{1}{2}, & \text{si } x < 0, \\ a, & \text{si } x = 0, \\ xe^{x} + 3, & \text{si } x > 0, \end{cases}se pide:
a
Hallar, si existe, el valor de aa para que f(x)f(x) sea continua.1 pt
b
Decidir si la función es derivable en x=0x = 0 para algún valor de aa.1 pt
c
Calcular la integral:∫1ln⁡5f(x)dx,\int_{1}^{\ln 5} f(x) dx,donde ln⁡\ln denota logaritmo neperiano.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la ecuación matricial:(a237)⋅B=(1111),\begin{pmatrix} a & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},donde BB es una matriz cuadrada de tamaño 2×22 \times 2, se pide:
a
Calcular el valor o valores de aa para los que esta ecuación tiene solución.1 pt
b
Calcular BB en el caso a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Estudiar el rango de la matriz:A=(2−1−3522−1a111631−4a)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -3 & 5 \\ 2 & 2 & -1 & a \\ 1 & 1 & 1 & 6 \\ 3 & 1 & -4 & a \end{pmatrix}según los valores del parámetro aa.
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