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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda en el pliego del examen a cuatro preguntas cualesquiera de entre las ocho que se proponen. Todas las preguntas se calificarán con un máximo de 2.5 puntos. Indique en el pliego del examen la agrupación de preguntas que responderá: agrupaciones de preguntas que sumen más de 10 puntos conllevarán la anulación de la(s) última(s) pregunta(s) seleccionada(s) y/o respondida(s).

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea a∈Ra \in \mathbb{R} y P=(1−1a11002−2)P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
a
Calcula el determinante y el rango de PP para cada valor de aa.0,75 pts
b
Para a=1a = 1 ¿existe P−1P^{-1}? En caso afirmativo calcúlala.1 pt
c
Para a=1a = 1, calcula det⁡(M)\det(M) sabiendo que PM=M2PM = M^2.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dado a∈Ra \in \mathbb{R}, se considera el sistema de ecuaciones siguiente:x−y+az=−12x+y=1y+2z=1}\left. \begin{array}{rrcr} x - y + az & = & -1 \\ 2x + y & = & 1 \\ y + 2z & = & 1 \end{array} \right\}
a
Discute el sistema según los valores de aa.1 pt
b
Resuelve el sistema para el caso a=−3a = -3 si es posible.0,75 pts
c
Encuentra, en caso de que exista, un valor de aa que verifique x=1x = 1. Calcula la solución en ese caso.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean A,B∈RA, B \in \mathbb{R} y f(x)=x2+ABx−1f(x) = \frac{x^2 + A}{Bx - 1}. Se pide:
a
Calcular AA y BB para que la gráfica de la función pase por el punto (0,−3)(0, -3) y tenga un extremo relativo en x=−1x = -1.0,75 pts
b
Para los valores de A=3A = 3 y B=1B = 1, estudia si la función tiene asíntotas y extremos relativos.1,25 pts
c
Para los valores A=3A = 3 y B=1B = 1, y basándose en los resultados obtenidos en el apartado anterior, realice un esbozo de la función.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=xe2x2f(x) = x e^{2x^2}. Se pide:
a
Calcula una primitiva de f(x)f(x), que pase por el punto (0,−1)(0, -1). (Sugerencia: Puedes utilizar el cambio de variable t=2x2t = 2x^2)1,5 pts
b
Calcula el área encerrada por la gráfica de ff, las rectas x=0x = 0 y x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sea ss la recta de ecuación x−2=y−2−1=zx - 2 = \frac{y - 2}{-1} = z, y rr la recta que pasa por los puntos A=(1,0,1)A = (1, 0, 1) y B=(2,1,2)B = (2, 1, 2).
a
Indica la posición relativa de rr y ss.1 pt
b
Calcula el plano paralelo a rr y que contiene a ss.0,75 pts
c
Calcula la distancia entre las rectas rr y ss.0,75 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Dados dos planos π≡x+y+z=3\pi \equiv x + y + z = 3, π′≡x+y=3\pi' \equiv x + y = 3; y el punto A=(2,1,6)A = (2, 1, 6).
a
Calcula un vector director y un punto de la recta rr intersección de los planos π\pi y π′\pi'.0,75 pts
b
Calcula el punto PP de π\pi tal que el segmento APAP es perpendicular al plano π\pi.1 pt
c
Calcula el punto A′A' simétrico de AA respecto del plano π\pi.0,75 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Una imprenta compra la tinta a dos empresas distintas. En la empresa A compra el 60%60\% de sus pedidos, y el resto a la empresa B. Se observa que el 1,6%1{,}6\% de las cajas de tinta de la empresa A llegan con defecto, mientras que de la empresa B solo el 0,9%0{,}9\% son defectuosas. Se toma una caja al azar:
a
Calcula la probabilidad de que la caja sea defectuosa.1,25 pts
b
Si la caja seleccionada no es defectuosa, calcule la probabilidad de que se haya comprado a la empresa A.1,25 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Las calificaciones de la asignatura Análisis Matemático I de la Facultad de Matemáticas siguen una distribución N(5,2)N(5, 2).
Datos
  • F(0)=0,5F(0) = 0{,}5
  • F(1,25)=0,8944F(1{,}25) = 0{,}8944
  • F(0,05)=0,52F(0{,}05) = 0{,}52
  • F(0,52)=0,6985F(0{,}52) = 0{,}6985
  • F(0,8944)=0,8133F(0{,}8944) = 0{,}8133
  • F(1)=0,8413F(1) = 0{,}8413
a
Calcule la probabilidad de que un estudiante haya obtenido una nota mayor o igual que 7,57{,}5.0,75 pts
b
Calcula la probabilidad de que un estudiante haya obtenido una nota entre 33 y 55.0,75 pts
c
Se modifica el sistema de enseñanza de forma que la desviación típica ahora es 1,51{,}5 y la probabilidad de obtener una nota menor o igual que 66, sea 0,520{,}52. ¿Cuál sería la nueva media? ¿Ha funcionado el sistema aplicado?1 pt
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