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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2023

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea a∈Ra \in \mathbb{R} y P=(1−1a11002−2)P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
a)0,75 pts
Calcula el determinante y el rango de PP para cada valor de aa.
b)1 pts
Para a=1a = 1 ¿existe P−1P^{-1}? En caso afirmativo calcúlala.
c)0,75 pts
Para a=1a = 1, calcula det⁡(M)\det(M) sabiendo que PM=M2PM = M^2.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dado a∈Ra \in \mathbb{R}, se considera el sistema de ecuaciones siguiente: x−y+az=−12x+y=1y+2z=1}\left. \begin{array}{rrcr} x - y + az & = & -1 \\ 2x + y & = & 1 \\ y + 2z & = & 1 \end{array} \right\}
a)1 pts
Discute el sistema según los valores de aa.
b)0,75 pts
Resuelve el sistema para el caso a=−3a = -3 si es posible.
c)0,75 pts
Encuentra, en caso de que exista, un valor de aa que verifique x=1x = 1. Calcula la solución en ese caso.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean A,B∈RA, B \in \mathbb{R} y f(x)=x2+ABx−1f(x) = \frac{x^2 + A}{Bx - 1}. Se pide:
a)0,75 pts
Calcular AA y BB para que la gráfica de la función pase por el punto (0,−3)(0, -3) y tenga un extremo relativo en x=−1x = -1.
b)1,25 pts
Para los valores de A=3A = 3 y B=1B = 1, estudia si la función tiene asíntotas y extremos relativos.
c)0,5 pts
Para los valores A=3A = 3 y B=1B = 1, y basándose en los resultados obtenidos en el apartado anterior, realice un esbozo de la función.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=xe2x2f(x) = x e^{2x^2}. Se pide:
a)1,5 pts
Calcula una primitiva de f(x)f(x), que pase por el punto (0,−1)(0, -1). (Sugerencia: Puedes utilizar el cambio de variable t=2x2t = 2x^2)
b)1 pts
Calcula el área encerrada por la gráfica de ff, las rectas x=0x = 0 y x=1x = 1.
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sea ss la recta de ecuación x−2=y−2−1=zx - 2 = \frac{y - 2}{-1} = z, y rr la recta que pasa por los puntos A=(1,0,1)A = (1, 0, 1) y B=(2,1,2)B = (2, 1, 2).
a)1 pts
Indica la posición relativa de rr y ss.
b)0,75 pts
Calcula el plano paralelo a rr y que contiene a ss.
c)0,75 pts
Calcula la distancia entre las rectas rr y ss.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Dados dos planos π≡x+y+z=3\pi \equiv x + y + z = 3, π′≡x+y=3\pi' \equiv x + y = 3; y el punto A=(2,1,6)A = (2, 1, 6).
a)0,75 pts
Calcula un vector director y un punto de la recta rr intersección de los planos π\pi y π′\pi'.
b)1 pts
Calcula el punto PP de π\pi tal que el segmento APAP es perpendicular al plano π\pi.
c)0,75 pts
Calcula el punto A′A' simétrico de AA respecto del plano π\pi.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Una imprenta compra la tinta a dos empresas distintas. En la empresa A compra el 60%60\% de sus pedidos, y el resto a la empresa B. Se observa que el 1,6%1{,}6\% de las cajas de tinta de la empresa A llegan con defecto, mientras que de la empresa B solo el 0,9%0{,}9\% son defectuosas. Se toma una caja al azar:
a)1,25 pts
Calcula la probabilidad de que la caja sea defectuosa.
b)1,25 pts
Si la caja seleccionada no es defectuosa, calcule la probabilidad de que se haya comprado a la empresa A.
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Las calificaciones de la asignatura Análisis Matemático I de la Facultad de Matemáticas siguen una distribución N(5,2)N(5, 2).
a)0,75 pts
Calcule la probabilidad de que un estudiante haya obtenido una nota mayor o igual que 7,57{,}5.
b)0,75 pts
Calcula la probabilidad de que un estudiante haya obtenido una nota entre 33 y 55.
c)1 pts
Se modifica el sistema de enseñanza de forma que la desviación típica ahora es 1,51{,}5 y la probabilidad de obtener una nota menor o igual que 66, sea 0,520{,}52. ¿Cuál sería la nueva media? ¿Ha funcionado el sistema aplicado?
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