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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2012

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
a)
Calcula, según los valores de aa, el rango de A=(a+1a0aa+1a0a+1a+1)A = \begin{pmatrix} a+1 & a & 0 \\ a & a+1 & a \\ 0 & a+1 & a+1 \end{pmatrix}. Para a=1a = 1, calcula el determinante de la matriz 2At⋅A−12 A^t \cdot A^{-1}.
b)
Sea B=(−1/2x0y1/20001)B = \begin{pmatrix} -1/2 & x & 0 \\ y & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Calcula xx e yy para que se cumpla que B−1=BtB^{-1} = B^t.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3 puntos
a)
Discute, según los valores de mm, el sistema: {x+y=mx−my=−133x+5y=16\begin{cases} x + y = m \\ x - my = -13 \\ 3x + 5y = 16 \end{cases}
b)
Resuélvelo, si es posible, para m=2m = 2.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3 puntos
Dado el plano π:x−2y+3z+6=0\pi: x - 2y + 3z + 6 = 0:
a)
Calcula el área del triángulo de vértices los puntos de corte de π\pi con los ejes de coordenadas.
b)
Calcula la ecuación general del plano que es perpendicular al plano π\pi, paralelo a la recta que pasa por los puntos B(0,3,0)B(0, 3, 0) y C(0,0,2)C(0, 0, 2) y pasa por el origen de coordenadas.
c)
Calcula el punto simétrico del origen de coordenadas respecto al plano π:x−2y+3z+6=0\pi: x - 2y + 3z + 6 = 0.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
a)
Estudia la posición relativa de los planos π1:x+y+z−5=0\pi_1: x + y + z - 5 = 0 y π2:{x=λy=3+λ+2μz=1+μ\pi_2: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 3 + \lambda + 2\mu \\ z = 1 + \mu \end{cases}. Si se cortan en una recta, escribe las ecuaciones paramétricas de la misma.
b)
Calcula la ecuación del plano π3\pi_3 que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a π1\pi_1 y π2\pi_2. Calcula la intersección de π1,π2\pi_1, \pi_2 y π3\pi_3.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
a)
Calcula las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)=(x−1)2x2+1f(x) = \frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}.
b)
Calcula ∫1e(x−1)2x2+1dx\int_{1}^{e} \frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1} dx.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
a)
Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Rolle.
b)
Si c>2c > 2, calcula los valores de a,b,ca, b, c para que la función f(x)={x2+ax+bsi x<2x+1si x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x < 2 \\ x + 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases} cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,c][0, c].
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
a)
De una función derivable f(x)f(x) sabemos que pasa por el punto (0,1)(0, 1) y que su derivada es f′(x)=xe2xf'(x) = x e^{2x}. Calcula f(x)f(x) y la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto correspondiente a x=0x = 0.
b)
Enuncia el teorema fundamental del cálculo integral.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3, la recta tangente en el punto donde la parábola tiene un extremo y la tangente a la parábola en el punto donde la tangente es paralela a la recta y=4xy = 4x.
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