Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2012

4 ejercicios

Instrucciones

Responder solo a los ejercicios de una de las dos opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 3 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 2 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Datos
  • At,BtA^t, B^t representan la matriz traspuesta de AA y BB respectivamente
a
Calcula, según los valores de aa, el rango de A=(a+1a0aa+1a0a+1a+1)A = \begin{pmatrix} a+1 & a & 0 \\ a & a+1 & a \\ 0 & a+1 & a+1 \end{pmatrix}. Para a=1a = 1, calcula el determinante de la matriz 2At⋅A−12 A^t \cdot A^{-1}.
b
Sea B=(−1/2x0y1/20001)B = \begin{pmatrix} -1/2 & x & 0 \\ y & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Calcula xx e yy para que se cumpla que B−1=BtB^{-1} = B^t.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
3 puntos
Dado el plano π:x−2y+3z+6=0\pi: x - 2y + 3z + 6 = 0:
a
Calcula el área del triángulo de vértices los puntos de corte de π\pi con los ejes de coordenadas.
b
Calcula la ecuación general del plano que es perpendicular al plano π\pi, paralelo a la recta que pasa por los puntos B(0,3,0)B(0, 3, 0) y C(0,0,2)C(0, 0, 2) y pasa por el origen de coordenadas.
c
Calcula el punto simétrico del origen de coordenadas respecto al plano π:x−2y+3z+6=0\pi: x - 2y + 3z + 6 = 0.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Calcula las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)=(x−1)2x2+1f(x) = \frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}.
b
Calcula ∫1e(x−1)2x2+1dx\int_{1}^{e} \frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1} dx.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
a
De una función derivable f(x)f(x) sabemos que pasa por el punto (0,1)(0, 1) y que su derivada es f′(x)=xe2xf'(x) = x e^{2x}. Calcula f(x)f(x) y la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto correspondiente a x=0x = 0.
b
Enuncia el teorema fundamental del cálculo integral.
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Discute, según los valores de mm, el sistema:{x+y=mx−my=−133x+5y=16\begin{cases} x + y = m \\ x - my = -13 \\ 3x + 5y = 16 \end{cases}
b
Resuélvelo, si es posible, para m=2m = 2.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Estudia la posición relativa de los planos π1:x+y+z−5=0\pi_1: x + y + z - 5 = 0 y π2:{x=λy=3+λ+2μz=1+μ\pi_2: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 3 + \lambda + 2\mu \\ z = 1 + \mu \end{cases}. Si se cortan en una recta, escribe las ecuaciones paramétricas de la misma.
b
Calcula la ecuación del plano π3\pi_3 que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a π1\pi_1 y π2\pi_2. Calcula la intersección de π1,π2\pi_1, \pi_2 y π3\pi_3.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Rolle.
b
Si c>2c > 2, calcula los valores de a,b,ca, b, c para que la funciónf(x)={x2+ax+bsi x<2x+1si x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x < 2 \\ x + 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,c][0, c].
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3, la recta tangente en el punto donde la parábola tiene un extremo y la tangente a la parábola en el punto donde la tangente es paralela a la recta y=4xy = 4x.
Datos
  • Para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y la concavidad o convexidad
Ver este ejercicio