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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2015

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa:{x+y+az=1x+ay+z=aax+y+z=1\begin{cases} x + y + az = 1 \\ x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \end{cases}1,5 pts
b
Si es posible, resuélvalo para el valor de a=−2a = -2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Tres de los cuatro vértices de un tetraedro son los puntos A=(2,1,0)A = (2, 1, 0), B=(3,4,0)B = (3, 4, 0) y C=(5,1,0)C = (5, 1, 0). El cuarto vértice DD está en la recta rr que pasa por el punto (1,2,3)(1, 2, 3) y tiene como vector director el vector (−1,1,1)(-1, 1, 1).
a
Determine las ecuaciones paramétricas de la recta rr.0,75 pts
b
Calcule las coordenadas del vértice DD para que el volumen del tetraedro sea 99.1,75 pts
Datos
  • Hay dos soluciones distintas
  • basta con calcular una de ellas
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Calcule lim⁡x→0−2+e1/x1+e2/x\lim_{x \to 0^-} \frac{2 + e^{1/x}}{1 + e^{2/x}}.1 pt
b
Calcule lim⁡x→0+2+e1/x1+e2/x\lim_{x \to 0^+} \frac{2 + e^{1/x}}{1 + e^{2/x}}.1,25 pts
c
¿Es continua la función f(x)=2+e1/x1+e2/xf(x) = \frac{2 + e^{1/x}}{1 + e^{2/x}} en x=0x = 0? Justifique la respuesta.0,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule la integral indefinida ∫2xarctg⁡x dx\int 2x \operatorname{arctg} x \, dx.2 pts
b
De todas las primitivas de la función f(x)=2xarctg⁡xf(x) = 2x \operatorname{arctg} x, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (0,−2)(0, -2).0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se dice que una matriz cuadrada AA es involutiva si cumple que A2=IA^2 = I, donde II denota la matriz identidad.
a
Justifique razonadamente que toda matriz involutiva es regular (o invertible).0,5 pts
b
Determine para qué valores de los parámetros aa y bb la siguiente matriz es involutiva:A=(aa0a−a000b)A = \begin{pmatrix} a & a & 0 \\ a & -a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}2 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere la recta rr y el plano π\pi dados por las ecuaciones siguientes:r:x1=y+2−1=z−12yπ:2x+y+z=−7r: \frac{x}{1} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 1}{2} \quad \text{y} \quad \pi: 2x + y + z = -7
a
Compruebe que la recta rr corta al plano π\pi y calcule el ángulo que forman.1,25 pts
b
Determine el plano que pasa por el punto P=(2,−3,3)P = (2, -3, 3), es paralelo a la recta rr y es perpendicular al plano π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la función dada porf(x)={x2+ax−3si x≤1ln⁡(x2)+bsi x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + ax - 3 & \text{si } x \leq 1 \\ \ln(x^2) + b & \text{si } x > 1 \end{cases}Determine los valores de los parámetros aa y bb para los cuales la función f(x)f(x) es continua y derivable en todo R\mathbb{R}.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considere el recinto limitado por la gráfica de las funciones f(x)=2sen⁡xf(x) = 2 \operatorname{sen} x y g(x)=tg⁡xg(x) = \operatorname{tg} x en el primer cuadrante del plano XYXY, que está representado en la figura adjunta.
Gráfica de las funciones f(x) = 2 sen x y g(x) = tg x en el primer cuadrante con el área entre ellas sombreada.
a
Determine los puntos de corte de dichas gráficas.0,75 pts
b
Calcule el área de dicho recinto.1,75 pts
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