Matemáticas II · Murcia 2015

Se dice que una matriz cuadrada $A$ es involutiva si cumple que $A^2 = I$, donde $I$ denota la matriz identidad.

Tres de los cuatro vértices de un tetraedro son los puntos $A = (2, 1, 0)$, $B = (3, 4, 0)$ y $C = (5, 1, 0)$. El cuarto vértice $D$ está en la recta $r$ que pasa por el punto $(1, 2, 3)$ y tiene como vector director el vector $(-1, 1, 1)$.

Considere la recta $r$ y el plano $\pi$ dados por las ecuaciones siguientes: $$r: \frac{x}{1} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 1}{2} \quad \text{y} \quad \pi: 2x + y + z = -7$$

Considere la función dada por $$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax - 3 & \text{si } x \leq 1 \\ \ln(x^2) + b & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para los cuales la función $f(x)$ es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$.

Considere el recinto limitado por la gráfica de las funciones $f(x) = 2 \operatorname{sen} x$ y $g(x) = \operatorname{tg} x$ en el primer cuadrante del plano $XY$, que está representado en la figura adjunta.