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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCataluñaPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Cataluña 2022

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CUATRO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2,5 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que puedan almacenar datos o que puedan transmitir o recibir información. Puede utilizar las páginas en blanco para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio. En este último caso, es necesario que lo indique claramente al final de la página de la cuestión correspondiente.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
El coste de producción (en euros) de xx unidades de un producto determinado viene dado por la función C(x)=0,02x2+3x+100C(x) = 0{,}02x^2 + 3x + 100. Estas unidades se ponen a la venta y el precio de venta unitario (en euros) depende del número de unidades producidas xx. Concretamente, viene dado por la función p(x)=47−0,06xp(x) = 47 - 0{,}06x. Supongamos que se venden todas las unidades que se producen.
a
Determine la función que da los beneficios obtenidos en función del número de unidades producidas xx.1,25 pts
b
Determine cuántas unidades hay que producir para obtener el beneficio máximo y diga cuál es este beneficio.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Martí explica a Marcel que el otro día, cuando cogió el autocar para ir de Barcelona a Tarragona, el autocar se estropeó justo a la mitad del trayecto. Desde este punto fue caminando hasta la población más cercana, de manera que hizo a pie una veinteava parte del total del trayecto. Allí cogió un taxi hasta Tarragona, y dice que hizo 55 kilómetros más en autocar que en taxi.
a
Plantee y resuelva un sistema de ecuaciones para calcular cuántos kilómetros hizo Martí en autocar, a pie y en taxi.1,75 pts
b
Si el autocar iba a 100 km/h100\,\text{km/h}, Martí caminó a 5 km/h5\,\text{km/h} y el taxi iba a 90 km/h90\,\text{km/h}, ¿cuánto tiempo tardó en hacer todo el trayecto?0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
El Museo de Matemáticas de Cataluña (MMACA) tiene previsto montar una exposición. Se estima que el número de visitantes semanales que recibirá la exposición, expresado en decenas de personas, viene dado por la función f(x)=240xx2−2x+4f(x) = \frac{240x}{x^2 - 2x + 4}, en la que x≥1x \geq 1 representa el tiempo, expresado en semanas, que hace que la exposición está abierta al público.
a
¿Cuántas personas irán a ver la exposición la primera semana? Calcule la tasa de variación media del número de visitantes entre la semana 11 y la semana 44.1 pt
b
¿Qué semana se prevé que irá más gente a ver la exposición? ¿Cuántos visitantes se estima que irán aquella semana?1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
La técnica de irradiación de los alimentos se utiliza para favorecer su conservación, pero unas dosis demasiado altas de irradiación pueden reducir su valor nutricional. Normalmente, para el procesamiento de alimentos se utilizan las radiaciones provenientes del cobalto y del cesio. Queremos utilizar esta técnica para tratar alimentos que ya han empezado a deteriorarse. Considere xx e yy las cantidades emitidas de rayos de cobalto y de cesio, respectivamente, medidas en grays. Sabemos que la cantidad de radiación absorbida en la parte dañada del alimento es de 6x+4y6x + 4y grays, alrededor de la parte dañada es de 3x+y3x + y grays y en las partes que están en buenas condiciones es de 4x+5y4x + 5y grays.
a
Calcule las cantidades de rayos de cobalto y de rayos de cesio que habrá que utilizar para que la cantidad de radiación absorbida por las partes en buenas condiciones sea mínima, teniendo en cuenta que en la parte dañada esta cantidad debe ser como mínimo de 6060 grays y alrededor no puede exceder los 2727 grays. Para hacerlo, determine cuál es la función objetivo que se debe minimizar y las restricciones, y dibuje la región factible.1,5 pts
b
Si aplicamos un tratamiento consistente en 77 grays de rayos de cobalto y 55 grays de rayos de cesio, compruebe que se cumplen las dos restricciones (la que hace referencia a la parte dañada y la que hace referencia al entorno de la parte dañada). ¿Por qué es un tratamiento peor que la solución que ha encontrado en el apartado a?1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Considere las matrices A=(1−102)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} y B=(210a)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}, en las que aa es un parámetro real.
a
Calcule para qué valor de aa las dos matrices conmutan, es decir, para qué valor de aa se cumple que A⋅B=B⋅AA \cdot B = B \cdot A. Compruebe que para este valor de aa se satisface que A⋅B=2⋅IA \cdot B = 2 \cdot I, en la que II es la matriz identidad de orden dos.1,25 pts
b
Para el valor de aa encontrado en el apartado anterior, calcule las matrices inversas de las matrices AA y BB. Puede aplicar la relación A⋅B=2⋅IA \cdot B = 2 \cdot I.1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Un inversor se da cuenta de que en el momento actual sus acciones tienen unas pérdidas de 2.0002.000 €. Su asesor financiero tiene una previsión del valor de las acciones para los próximos 3030 días. Le dice que el valor de las acciones ya ha empezado a aumentar y que dentro de pocos días dejará de tener pérdidas. Según las previsiones, durante los próximos 1010 días el valor de las acciones crecerá; del día 1010 al día 2020 los beneficios disminuirán, y a partir de este día los beneficios volverán a crecer. El asesor también dice al inversor que la previsión de los beneficios para los próximos 3030 días tiene como modelo la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, en la que x∈[0,30]x \in [0, 30].
a
Calcule los valores de los parámetros aa, bb y cc.1,5 pts
b
Si el inversor quiere vender sus acciones durante estos 3030 días, ¿cuál es el día en el cual obtendrá más beneficios de la venta? ¿Qué beneficios obtendrá?1 pt
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