Matemáticas CCSS · Cataluña 2022

El coste de producción (en euros) de $x$ unidades de un producto determinado viene dado por la función $C(x) = 0{,}02x^2 + 3x + 100$. Estas unidades se ponen a la venta y el precio de venta unitario (en euros) depende del número de unidades producidas $x$. Concretamente, viene dado por la función $p(x) = 47 - 0{,}06x$. Supongamos que se venden todas las unidades que se producen.

Martí explica a Marcel que el otro día, cuando cogió el autocar para ir de Barcelona a Tarragona, el autocar se estropeó justo a la mitad del trayecto. Desde este punto fue caminando hasta la población más cercana, de manera que hizo a pie una veinteava parte del total del trayecto. Allí cogió un taxi hasta Tarragona, y dice que hizo $5$ kilómetros más en autocar que en taxi.

El Museo de Matemáticas de Cataluña (MMACA) tiene previsto montar una exposición. Se estima que el número de visitantes semanales que recibirá la exposición, expresado en decenas de personas, viene dado por la función $f(x) = \frac{240x}{x^2 - 2x + 4}$, en la que $x \geq 1$ representa el tiempo, expresado en semanas, que hace que la exposición está abierta al público.

La técnica de irradiación de los alimentos se utiliza para favorecer su conservación, pero unas dosis demasiado altas de irradiación pueden reducir su valor nutricional. Normalmente, para el procesamiento de alimentos se utilizan las radiaciones provenientes del cobalto y del cesio. Queremos utilizar esta técnica para tratar alimentos que ya han empezado a deteriorarse. Considere $x$ e $y$ las cantidades emitidas de rayos de cobalto y de cesio, respectivamente, medidas en grays. Sabemos que la cantidad de radiación absorbida en la parte dañada del alimento es de $6x + 4y$ grays, alrededor de la parte dañada es de $3x + y$ grays y en las partes que están en buenas condiciones es de $4x + 5y$ grays.

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$, en las que $a$ es un parámetro real.

Un inversor se da cuenta de que en el momento actual sus acciones tienen unas pérdidas de $2.000$ €. Su asesor financiero tiene una previsión del valor de las acciones para los próximos $30$ días. Le dice que el valor de las acciones ya ha empezado a aumentar y que dentro de pocos días dejará de tener pérdidas. Según las previsiones, durante los próximos $10$ días el valor de las acciones crecerá; del día $10$ al día $20$ los beneficios disminuirán, y a partir de este día los beneficios volverán a crecer. El asesor también dice al inversor que la previsión de los beneficios para los próximos $30$ días tiene como modelo la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, en la que $x \in [0, 30]$.