Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumnado contestará solo CUATRO problemas entre los OCHO propuestos. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 4 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dadas las matrices A=(1200m1030)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & m & 1 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} y B=(m09)B = \begin{pmatrix} m \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}:
a
Estudiar cuándo la ecuación matricial A2X=BA^2 X = B tiene solución en función del parámetro real mm.4 pts
b
Encontrar todas las soluciones de la ecuación anterior cuando éstas existan.6 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
10 puntos
Dadas las matrices A=(101011)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B=(1112−10)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} y C=(0α−α20)C = \begin{pmatrix} 0 & \alpha \\ -\alpha^2 & 0 \end{pmatrix}:
a
Obtener la matriz (ABT+I)−1(A B^T + I)^{-1}, donde II es la matriz identidad de las dimensiones adecuadas para realizar la operación.6 pts
b
Comprobar que C2=−α3IC^2 = -\alpha^3 I, donde II es la matriz identidad, y calcular C13C^{13}.4 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
10 puntos
Dada la recta r:{x−y=1x+2y+z=0r: \begin{cases} x - y = 1 \\ x + 2y + z = 0 \end{cases} y los puntos P=(0,0,3)P = (0, 0, 3) y Q=(2,2,a)Q = (2, 2, a), obtener:
a
Los valores del parámetro real aa, si existen, para los que son paralelas la recta rr y la recta que pasa por los puntos PP y QQ.6 pts
b
La ecuación del plano perpendicular a rr y que pasa por PP.4 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
10 puntos
Dada la recta r:{5x+y+7z=169x−y+7z=12r: \begin{cases} 5x + y + 7z = 16 \\ 9x - y + 7z = 12 \end{cases} y el punto P=(0,5,2)P = (0, 5, 2), se pide:
a
Comprobar que el punto Q=(2,6,0)Q = (2, 6, 0) pertenece a la recta rr y encontrar la recta ss que pasa por los puntos PP y QQ.2 pts
b
Obtener el ángulo que forman la recta rr y la recta ss.3 pts
c
Obtener la proyección ortogonal del punto PP en la recta rr.5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
10 puntos
Considerar la función f(x)=1x+ln⁡(x+1)f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x + 1). Obtener:
a
El dominio y las asíntotas de f(x)f(x).2 pts
b
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) y sus máximos y mínimos.4 pts
c
El área comprendida entre la curva y=f(x)y = f(x) y las rectas y=0y = 0, x=1x = 1 y x=2x = 2.4 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
10 puntos
El corte vertical de la entrada a la plaza amurallada de cierto pueblo tiene forma de parábola con ecuación y=−x2+12y = -x^2 + 12, donde xx e yy se miden en metros e y=0y = 0 representa el suelo. Se desea poner una puerta rectangular de modo que las dos esquinas superiores estén en la parábola y las inferiores en el suelo. El resto de la entrada va cerrado con piedra. Calcular:
Diagrama de la entrada en forma de parábola con una puerta rectangular inscrita y el resto recubierto de piedra.
a
Las dimensiones de la puerta para que tenga la mayor superficie posible.6 pts
b
Utilizando la puerta del apartado anterior, obtener el área de la parte frontal de la puerta y el área de la parte frontal de la entrada recubierta por piedra.4 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 7

7
10 puntos
Tenemos dos monedas distintas M1M_1 y M2M_2. La probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda M1M_1 es pp y la probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda M2M_2 es qq.
a
Si lanzamos las dos monedas al mismo tiempo, calcular las probabilidades de no obtener ninguna cara, de obtener solo una cara y de obtener dos caras.3 pts
b
Después de lanzar las dos monedas, volvemos a lanzar solamente las monedas en las que no hemos obtenido cara. Calcular las probabilidades de que el resultado final haya sido obtener ninguna cara, obtener solo una cara y obtener dos caras.7 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 8

8
10 puntos
Cada fin de semana llegan al aeropuerto de Alicante 161 vuelos. De estos 161 vuelos, 95 proceden del territorio nacional, 50 proceden de la Unión Europea y 16 proceden de países de fuera de la Unión Europea. Sabiendo que el 5%5\% de los vuelos con procedencia nacional, el 4%4\% de los vuelos con procedencia de la Unión Europea y el 6,25%6{,}25\% del resto de vuelos se retrasan:
Datos
  • Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación
a
Calcular la probabilidad de que durante el fin de semana un vuelo se retrase.5 pts
b
Sabiendo que un vuelo concreto se ha retrasado, calcular la probabilidad de que este vuelo proceda de la Unión Europea.5 pts
Ver este ejercicio