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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Puede utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
a
Dadas las matrices A=(3224) y B=(25−31),A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}, resolved la ecuación matricial AX+Bt=BAX + B^t = B, donde XX es una matriz cuadrada de orden 2 y BtB^t es la traspuesta de la matriz BB.6 pts
b
Dad un ejemplo de las matrices siguientes:4 pts
b.1
Una matriz fila con tres columnas.
b.2
Una matriz columna con tres filas.
b.3
Una matriz de dimensiones 3×23 \times 2.
b.4
Una matriz simétrica de dimensiones 3×33 \times 3.
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Para fabricar dos tipos de cables, A y B, que se venderán a 150150 € y 100100 € el hectómetro, respectivamente, se utilizan 1818 kg de plástico y 33 kg de cobre para cada hectómetro del tipo A y 66 kg de plástico y 1212 kg de cobre para cada hectómetro del tipo B. Dos veces el cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que tres veces el cable fabricado del tipo A. Además, solamente tenemos 348348 kg de plástico y 168168 kg de cobre. Determinad la longitud, en hectómetros, de cada tipo de cable para que la cantidad de dinero obtenida en la venta sea máxima. ¿Cuál es esta cantidad máxima? Se debe plantear el problema como un problema de programación lineal, dibujando la región factible de soluciones y determinando y dibujando sus vértices.
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Ejercicio 3

3
10 puntos
La cotización de las acciones de una determinada sociedad anónima, suponiendo que la bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la función siguiente: C(x)=x3−45x2+243x+30000,C(x) = x^3 - 45x^2 + 243x + 30000, siendo xx el número de días. Se pide:
a
¿Cuál es la cotización de partida de las acciones de la sociedad?1 pt
b
Determinad los periodos de crecimiento y decrecimiento de las cotizaciones durante este mes.5 pts
c
Determinad los días en que se consiguen las cotizaciones máxima y mínima.3 pts
d
¿Cuáles son las cotizaciones máxima y mínima?1 pt
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que apruebe la primera prueba es de 0,60{,}6; la probabilidad de que apruebe la segunda es de 0,80{,}8, y la probabilidad de que apruebe ambas es de 0,50{,}5.
a
¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos una prueba?2 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que no apruebe ninguna prueba?3 pts
c
¿Son "aprobar la primera prueba" y "aprobar la segunda prueba" sucesos independientes?1 pt
d
¿Cuál es la probabilidad de que apruebe la segunda prueba en caso de no haber superado la primera?4 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Considerad la matriz A=(10−10m−111−m).A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & -1 \\ 1 & 1 & -m \end{pmatrix}.
a
Determinad para qué valores del parámetro mm existe A−1A^{-1}.3 pts
b
Calculad A−1A^{-1} para m=2m = 2.4 pts
c
Resolved, para m=2m = 2, el sistema A⋅(xyz)=(103).A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
De un problema de programación lineal se deducen las restricciones siguientes: 4x+3y≥12,y≤30,x≤10+y2,x≥0,y≥0.4x + 3y \geq 12, \quad y \leq 30, \quad x \leq \frac{10 + y}{2}, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0.
a
Representad gráficamente la región factible del problema y calculad los vértices.6 pts
b
Maximizad en esta región factible la función objetivo F(x,y)=x+3yF(x, y) = x + 3y.3 pts
c
¿Pertenece el punto (11,10)(11, 10) a la región factible?1 pt
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considerad la función f(x)=(x2+a)eaxf(x) = (x^2 + a)e^{ax}, siendo aa un parámetro real.
a
Razonad y determinad cuál es el dominio de la función f(x)f(x).1 pt
b
Determinad el valor de aa para que la gráfica de la función f(x)f(x) pase por el punto (0,4)(0, 4).2 pts
c
Para a=−2a = -2 determinad los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x)f(x). ¿Existen máximos y mínimos relativos de f(x)f(x)? En caso afirmativo, decid dónde los consigue y qué valores tienen.7 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
a
Para estudiar el consumo de leche, en litros, por persona al mes, se ha elegido una muestra de 150 personas con un consumo medio de 22 litros por persona y mes. Si este consumo sigue una distribución normal cuya desviación típica es 6, determinad un intervalo de confianza para el consumo medio por persona y mes con un nivel de confianza del 96%.5 pts
b
Se quiere estimar el consumo medio de leche, en litros, por persona al mes. Si este consumo sigue una distribución normal con desviación típica 6, ¿cuál es el tamaño muestral mínimo que se necesita para estimar el consumo medio con un error menor de 1 litro y con un nivel de confianza del 90%?5 pts
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