Matemáticas CCSS · Baleares 2016

Considerad la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & -1 \\ 1 & 1 & -m \end{pmatrix}.$$

Para fabricar dos tipos de cables, A y B, que se venderán a $150$ € y $100$ € el hectómetro, respectivamente, se utilizan $18$ kg de plástico y $3$ kg de cobre para cada hectómetro del tipo A y $6$ kg de plástico y $12$ kg de cobre para cada hectómetro del tipo B. Dos veces el cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que tres veces el cable fabricado del tipo A. Además, solamente tenemos $348$ kg de plástico y $168$ kg de cobre. Determinad la longitud, en hectómetros, de cada tipo de cable para que la cantidad de dinero obtenida en la venta sea máxima. ¿Cuál es esta cantidad máxima? Se debe plantear el problema como un problema de programación lineal, dibujando la región factible de soluciones y determinando y dibujando sus vértices.

De un problema de programación lineal se deducen las restricciones siguientes: $$4x + 3y \geq 12, \quad y \leq 30, \quad x \leq \frac{10 + y}{2}, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0.$$

La cotización de las acciones de una determinada sociedad anónima, suponiendo que la bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la función siguiente: $$C(x) = x^3 - 45x^2 + 243x + 30000,$$ siendo $x$ el número de días. Se pide:

Considerad la función $f(x) = (x^2 + a)e^{ax}$, siendo $a$ un parámetro real.

Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que apruebe la primera prueba es de $0{,}6$; la probabilidad de que apruebe la segunda es de $0{,}8$, y la probabilidad de que apruebe ambas es de $0{,}5$.