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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2015

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere las siguientes matrices:A=(11−1−1),yB=(01)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
a
Calcule C=At⋅A−B⋅BtC = A^t \cdot A - B \cdot B^t, donde AtA^t y BtB^t denotan, respectivamente, las matrices traspuestas de AA y BB.1,25 pts
b
Halle una matriz XX tal que X⋅C=DX \cdot C = D, siendoD=(2−2−2244)D = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por el vértice de un triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.
a
Calcule los puntos medios de los tres lados del triángulo de vértices A=(5,3,6)A = (5, 3, 6), B=(−1,−1,2)B = (-1, -1, 2) y C=(5,7,4)C = (5, 7, 4).0,25 pts
b
Calcule las ecuaciones de las tres medianas de dicho triángulo.1 pt
c
Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto y calcule las coordenadas de dicho punto.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcule los siguientes límites:
a
lim⁡x→+∞(x−6x+1)x2+5x+3\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x - 6}{x + 1} \right)^{\frac{x^2 + 5}{x + 3}}1,25 pts
b
lim⁡x→0+(1x2−1x)\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} \right)1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule la integral indefinida ∫tg⁡2(x) dx\int \tg^2(x) \, dx2 pts
b
De todas las primitivas de la función f(x)=tg⁡2(x)f(x) = \tg^2(x), encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (π/4,1)(\pi/4, 1).0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se dice que una matriz cuadrada AA es idempotente si cumple que A2=AA^2 = A.
a
Si AA es una matriz idempotente, calcule razonadamente A2015A^{2015}.0,5 pts
b
Determine para qué valores de los parámetros aa y bb la siguiente matriz es idempotenteA=(a−a0−aa000b)A = \begin{pmatrix} a & -a & 0 \\ -a & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}2 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere la recta rr y el plano π\pi dados por las ecuaciones siguientesr:x−13=y4=z−25yπ:x−2y+z=−3r: \quad \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z - 2}{5} \quad y \quad \pi: x - 2y + z = -3
a
Compruebe que la recta rr es paralela al plano π\pi y calcule la distancia entre ellos.1,25 pts
b
Determine la recta que pasa por el punto P=(1,0,2)P = (1, 0, 2) y es perpendicular al plano π\pi. Calcule la intersección de dicha recta con el plano π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcule los máximos y los mínimos de las siguientes funciones:
a
f(x)=xln⁡(x)f(x) = x \ln(x), con x>0x > 0.1 pt
b
g(x)=x2exg(x) = \frac{x^2}{e^x}, con x∈Rx \in \mathbb{R}.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule la integral indefinida ∫ln⁡(1+x2) dx\int \ln(1 + x^2) \, dx.2 pts
b
De todas las primitivas de la función f(x)=ln⁡(1+x2)f(x) = \ln(1 + x^2), encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (0,−2)(0, -2).0,5 pts
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