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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2014

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considera la matriz A=(1−11a)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & a \end{pmatrix}
a
Calcula la matriz B=A2−2AB = A^2 - 2A.1 pt
b
Determina para qué valores de aa la matriz BB tiene inversa.1 pt
c
Para a=1a = 1, calcula si es posible A−1A^{-1} y B−1B^{-1}.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Considera la función f(x)={sen⁡(x)si x∈[−2π,0)x2−2xsi x∈[0,3]f(x) = \begin{cases} \sen(x) & \text{si } x \in [-2\pi, 0) \\ x^2 - 2x & \text{si } x \in [0, 3] \end{cases}
a
Estudia si la función ff es derivable en x=0x = 0.1 pt
b
Calcula los puntos de corte con los ejes. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ff. Dibuja su gráfica.1,5 pts
c
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función ff, el eje de abscisas (y=0y = 0) y las rectas verticales x=0x = 0 y x=3x = 3.1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considera el plano π\pi y la recta rr dados porπ:ax+2y−4z−23=0,r≡x−34=y−1−4=z+3\pi : ax + 2y - 4z - 23 = 0, \quad r \equiv \frac{x - 3}{4} = \frac{y - 1}{-4} = z + 3
a
Halla el valor de aa para el cuál la recta rr está contenida en el plano π\pi.1 pt
b
¿Existe algún valor de aa para el que la recta rr es perpendicular al plano π\pi?1 pt
c
Para a=1a = 1, calcula la ecuación general del plano π1\pi_1 que es perpendicular al plano π\pi y que contiene a la recta rr.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considera el sistema de ecuaciones lineales:{ax+y+az=−2ay+z=0x+ay+z=−2,a∈R.\begin{cases} ax + y + az = -2 \\ ay + z = 0 \\ x + ay + z = -2 \end{cases}, a \in \mathbb{R}.Estúdialo para los distintos valores del parámetro aa y resuélvelo cuando sea compatible (calculando todas sus soluciones).
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
Halla tres números no negativos que sumen 14, tales que uno sea el doble de otro y que la suma de los cuadrados de los tres sea mínima.2 pts
b
Considera la función f:R⟶Rf : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=xexf(x) = \frac{x}{e^x}. Justifica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas.1,5 pts
b.1
lim⁡x→+∞f(x)=1\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1
b.2
La función ff tiene un máximo relativo en x=1x = 1.
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considera la recta r≡{3x−2y−11=02x−y−z−5=0r \equiv \begin{cases} 3x - 2y - 11 = 0 \\ 2x - y - z - 5 = 0 \end{cases} y los puntos A=(0,1,1)A = (0, 1, 1) y B=(1,2,1)B = (1, 2, 1):
a
Halla un punto PP de la recta rr que equidiste de los puntos AA y BB.1,5 pts
b
Calcula la ecuación general del plano π\pi que contiene a la recta rr y al punto AA.1 pt
c
Determina la distancia del punto BB al plano π\pi.0,75 pts
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