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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2014

6 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3,25 puntos
Considera la matriz A=(1−11a)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & a \end{pmatrix}
a)1 pts
Calcula la matriz B=A2−2AB = A^2 - 2A.
b)1 pts
Determina para qué valores de aa la matriz BB tiene inversa.
c)1,25 pts
Para a=1a = 1, calcula si es posible A−1A^{-1} y B−1B^{-1}.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3,25 puntos
Considera el sistema de ecuaciones lineales: {ax+y+az=−2ay+z=0x+ay+z=−2,a∈R.\begin{cases} ax + y + az = -2 \\ ay + z = 0 \\ x + ay + z = -2 \end{cases}, a \in \mathbb{R}. Estúdialo para los distintos valores del parámetro aa y resuélvelo cuando sea compatible (calculando todas sus soluciones).
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3,5 puntos
Considera la función f(x)={sen⁡(x)si x∈[−2π,0)x2−2xsi x∈[0,3]f(x) = \begin{cases} \sen(x) & \text{si } x \in [-2\pi, 0) \\ x^2 - 2x & \text{si } x \in [0, 3] \end{cases}
a)1 pts
Estudia si la función ff es derivable en x=0x = 0.
b)1,5 pts
Calcula los puntos de corte con los ejes. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ff. Dibuja su gráfica.
c)1 pts
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función ff, el eje de abscisas (y=0y = 0) y las rectas verticales x=0x = 0 y x=3x = 3.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3,5 puntos
a)2 pts
Halla tres números no negativos que sumen 14, tales que uno sea el doble de otro y que la suma de los cuadrados de los tres sea mínima.
b)1,5 pts
Considera la función f:R⟶Rf : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=xexf(x) = \frac{x}{e^x}. Justifica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas.
b.1)
lim⁡x→+∞f(x)=1\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1
b.2)
La función ff tiene un máximo relativo en x=1x = 1.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3,25 puntos
Considera el plano π\pi y la recta rr dados por π:ax+2y−4z−23=0,r≡x−34=y−1−4=z+3\pi : ax + 2y - 4z - 23 = 0, \quad r \equiv \frac{x - 3}{4} = \frac{y - 1}{-4} = z + 3
a)1 pts
Halla el valor de aa para el cuál la recta rr está contenida en el plano π\pi.
b)1 pts
¿Existe algún valor de aa para el que la recta rr es perpendicular al plano π\pi?
c)1,25 pts
Para a=1a = 1, calcula la ecuación general del plano π1\pi_1 que es perpendicular al plano π\pi y que contiene a la recta rr.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3,25 puntos
Considera la recta r≡{3x−2y−11=02x−y−z−5=0r \equiv \begin{cases} 3x - 2y - 11 = 0 \\ 2x - y - z - 5 = 0 \end{cases} y los puntos A=(0,1,1)A = (0, 1, 1) y B=(1,2,1)B = (1, 2, 1):
a)1,5 pts
Halla un punto PP de la recta rr que equidiste de los puntos AA y BB.
b)1 pts
Calcula la ecuación general del plano π\pi que contiene a la recta rr y al punto AA.
c)0,75 pts
Determina la distancia del punto BB al plano π\pi.
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