Matemáticas II · Galicia 2011

Si $A$ es una matriz tal que $A^3 + I = 0$, siendo $I$ la matriz identidad y $0$ la matriz nula de orden 3, ¿cuál es el rango de $A$? Calcula el determinante de $A^{30}$. Calcula $A$ en el caso de que sea una matriz diagonal verificando la igualdad anterior.

Dada la matriz $B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ (sic), calcula una matriz $X$ tal que $BXB - B = B^{-1}$.

Discute, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + my + 3z = 1 \\ x + 2y + mz = m \\ x + 4y + 3z = 1 \end{cases}$$

Resuelve, si es posible, el sistema anterior para el caso $m = 4$.

Dado el plano $\pi: \begin{cases} x = 2 - \lambda + \mu \\ y = \lambda \\ z = \lambda + \mu \end{cases}$, calcula la ecuación de la recta $r$ que pasa por el punto $P(1, -2, 1)$ y es perpendicular a $\pi$. Calcula el punto de intersección de $r$ y $\pi$.

¿Están alineados los puntos $A(2, 0, 3)$, $B(0, 0, 1)$ y $C(2, 1, 5)$? Si no están alineados, calcula la distancia entre el plano que determinan estos tres puntos y el plano $\pi$ del apartado a).

Estudia la posición relativa de la recta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{1}$ y la recta $s$ que pasa por los puntos $P(0, 2, 1)$ y $Q(1, 1, 1)$. Calcula la distancia de $r$ a $s$.

Calcula la ecuación general del plano $\pi$ que es paralelo a la recta $r$ y contiene a la recta $s$.

Enuncia el teorema de Bolzano. ¿Podemos asegurar que la gráfica de la función $$f(x) = 3 \sen \left(\frac{x}{2}\right) - \cos(x^2)$$ corta el eje OX en algún punto del intervalo $(0, \pi)$? Razona la respuesta.

Descompón el número 40 en dos sumandos tales que el producto del cubo de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuánto vale ese producto?

Calcula los extremos relativos de la función $f(x) = x^4 - 8x^2 + 1$. Calcula también el máximo absoluto y el mínimo absoluto de esta función en el intervalo $[-3, 3]$.

Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función $f(x) = ax^2 + b x \ln x$ tenga un punto de inflexión en el punto $(1, 2)$. Para estos valores de $a$ y $b$, calcula el dominio y los intervalos de concavidad y convexidad de $f(x)$. (Nota: $\ln$ = logaritmo neperiano).

Calcula los valores de $a, b, c$ sabiendo que $y = ax^2 + bx + 1$ e $y = x^3 + c$ tienen la misma recta tangente en el punto $(1, 2)$.

Enuncia la regla de Barrow. Calcula $\int_{1}^{e} \left( \frac{1}{x} - \ln x \right) dx$. (Nota: $\ln$ = logaritmo neperiano).

Define primitiva e integral indefinida de una función.

Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola $f(x) = -3x^2 + 3$ y la recta $y = -9$. (Nota: para el dibujo de las gráficas, indica los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y concavidad o convexidad).