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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2011

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno/a debe responder solo a los ejercicios de una de las dos opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 3 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 2 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Si AA es una matriz tal que A3+I=0A^3 + I = 0, siendo II la matriz identidad y 00 la matriz nula de orden 3, ¿cuál es el rango de AA? Calcula el determinante de A30A^{30}. Calcula AA en el caso de que sea una matriz diagonal verificando la igualdad anterior.
b
Dada la matriz B=12(2121)B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} (sic), calcula una matriz XX tal que BXB−B=B−1BXB - B = B^{-1}.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Dado el plano π:{x=2−λ+μy=λz=λ+μ\pi: \begin{cases} x = 2 - \lambda + \mu \\ y = \lambda \\ z = \lambda + \mu \end{cases}, calcula la ecuación de la recta rr que pasa por el punto P(1,−2,1)P(1, -2, 1) y es perpendicular a π\pi. Calcula el punto de intersección de rr y π\pi.
b
¿Están alineados los puntos A(2,0,3)A(2, 0, 3), B(0,0,1)B(0, 0, 1) y C(2,1,5)C(2, 1, 5)? Si no están alineados, calcula la distancia entre el plano que determinan estos tres puntos y el plano π\pi del apartado a).
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Enuncia el teorema de Bolzano. ¿Podemos asegurar que la gráfica de la función f(x)=3sen⁡(x2)−cos⁡(x2)f(x) = 3 \sen \left(\frac{x}{2}\right) - \cos(x^2) corta el eje OX en algún punto del intervalo (0,π)(0, \pi)? Razona la respuesta.
b
Descompón el número 40 en dos sumandos tales que el producto del cubo de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuánto vale ese producto?
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Calcula los valores de a,b,ca, b, c sabiendo que y=ax2+bx+1y = ax^2 + bx + 1 e y=x3+cy = x^3 + c tienen la misma recta tangente en el punto (1,2)(1, 2).
b
Enuncia la regla de Barrow. Calcula ∫1e(1x−ln⁡x)dx\int_{1}^{e} \left( \frac{1}{x} - \ln x \right) dx. (Nota: ln⁡\ln = logaritmo neperiano).
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Discute, según los valores del parámetro mm, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {x+my+3z=1x+2y+mz=mx+4y+3z=1\begin{cases} x + my + 3z = 1 \\ x + 2y + mz = m \\ x + 4y + 3z = 1 \end{cases}
b
Resuelve, si es posible, el sistema anterior para el caso m=4m = 4.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Estudia la posición relativa de la recta r:x−11=y−12=z1r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{1} y la recta ss que pasa por los puntos P(0,2,1)P(0, 2, 1) y Q(1,1,1)Q(1, 1, 1). Calcula la distancia de rr a ss.
b
Calcula la ecuación general del plano π\pi que es paralelo a la recta rr y contiene a la recta ss.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Calcula los extremos relativos de la función f(x)=x4−8x2+1f(x) = x^4 - 8x^2 + 1. Calcula también el máximo absoluto y el mínimo absoluto de esta función en el intervalo [−3,3][-3, 3].
b
Calcula los valores de aa y bb para que la función f(x)=ax2+bxln⁡xf(x) = ax^2 + b x \ln x tenga un punto de inflexión en el punto (1,2)(1, 2). Para estos valores de aa y bb, calcula el dominio y los intervalos de concavidad y convexidad de f(x)f(x). (Nota: ln⁡\ln = logaritmo neperiano).
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Define primitiva e integral indefinida de una función.
b
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola f(x)=−3x2+3f(x) = -3x^2 + 3 y la recta y=−9y = -9. (Nota: para el dibujo de las gráficas, indica los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y concavidad o convexidad).
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