Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2018

4 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones:{x+y+mz=mmx+(m−1)y+z=2x+y+z=1\begin{cases} x + y + m z = m \\ m x + (m - 1) y + z = 2 \\ x + y + z = 1 \end{cases}
a
Determine los valores del parámetro mm para los que ese sistema de ecuaciones es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.1 pt
b
Encuentre las soluciones de ese sistema cuando m=1m = 1.1 pt
c
Considere las matrices:C=(1−10),D=(1,2,−1)C = \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{pmatrix}, D = (1, 2, - 1)Determine el rango de la matriz producto CDCD.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
1,5 puntos
Determine la ecuación del plano que pasa por el punto (0,0,0)(0, 0, 0) y contiene a la recta:r ⁣:{2x−y−2=03y−2z+4=0r \colon \begin{cases} 2 x - y - 2 = 0 \\ 3 y - 2 z + 4 = 0 \end{cases}
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
4 puntos
a
Considere la función:f(x)=x+1x2+1f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}}3 pts
a.1
Determine el dominio y las asíntotas de la función f(x)f(x).1 pt
a.2
Determine los máximos y mínimos relativos de la función f(x)f(x).1 pt
a.3
Determine la recta tangente a la función f(x)f(x) en el punto x=2x = 2.1 pt
b
Calcule:∫x2−3x+3x−1dx\int \frac{x^2 - 3 x + 3}{x - 1} dx1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
1,5 puntos
Al 80%80\% de los alumnos de una clase les gusta el fútbol; al 40%40\% les gusta el balonmano y al 30%30\% les gustan ambos deportes.
a
Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los dos deportes (uno o los dos)?0,75 pts
b
Se eligen 10 alumnos al azar con reemplazamiento, es decir, cada vez que se elige un alumno se le pregunta por sus gustos y se repone a la clase, pudiendo ser elegido nuevamente. Calcule la probabilidad de que solo a 3 les guste el fútbol (NO es preciso finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la definen y sin hacer los cálculos).0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
3 puntos
Considere la matriz:A=(301000103)A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}
a
Determine los valores del parámetro kk para los que la matriz A−kIA - k I tenga inversa, siendo II la matriz identidad de orden 3.1,5 pts
b
Encuentre la matriz XX que verifica que (A−3I)X=2I(A - 3 I) X = 2 I, siendo II la matriz identidad de orden 3 y AA la matriz que aparece al comienzo del enunciado.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
1,5 puntos
Considere el plano π ⁣:2x+ay+z=4\pi \colon 2x + ay + z = 4 y la recta:r ⁣:{2x+y+z=2−x+y+2z=3r \colon \begin{cases} 2 x + y + z = 2 \\ - x + y + 2 z = 3 \end{cases}
a
Determine la posición del plano y la recta según los diferentes valores de aa.0,75 pts
b
Para a=2a = 2, determine la recta que es perpendicular al plano π\pi y pasa por el punto P(0,1,0)P(0, 1, 0).0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
4 puntos
a
Determine los valores de los parámetros aa, bb y cc para que la función f(x)=a(x−1)3+bx+cf(x) = a(x - 1)^3 + b x + c:2 pts
a.1
Pase por el punto (1,1)(1, 1)
a.2
En el punto (1,1)(1, 1) su tangente tenga de pendiente 2.
a.3
En el punto x=2x = 2 tenga un máximo relativo.
b
Determine el valor del límite:lim⁡x→+∞(x2−3x+2x2−2x)3x2−1x\lim_{x \to + \infty} \left(\frac{x^2 - 3 x + 2}{x^2 - 2 x}\right)^{\frac{3 x^2 - 1}{x}}2 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
1,5 puntos
En una empresa los trabajadores se clasifican en tres categorías: A, B y C. El 30%30\% de los trabajadores pertenecen a la categoría A; el 25%25\% a la categoría B y el resto a la categoría C. Además, se sabe que de los trabajadores de la categoría A un 5%5\% habla inglés; mientras que de la categoría B un 20%20\% habla inglés y de los trabajadores de la categoría C un 60%60\% habla inglés.
c
Si se elige al azar un trabajador de la empresa, ¿Cuál es la probabilidad de que hable inglés?0,75 pts
d
Si se elige al azar un trabajador de la empresa y resulta que SI habla inglés, ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la categoría C?0,75 pts
Ver este ejercicio