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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2014

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno/a debe responder solo a los ejercicios de una de las dos opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 3 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 2 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Define menor complementario y adjunto de un elemento en una matriz cuadrada.
b
Sean II la matriz identidad de orden 3 y A=(102110201)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, determina los valores de λ\lambda para los que A+λIA + \lambda I no tiene inversa.
c
Calcula la matriz XX que verifica AX−A=2XAX - A = 2X, siendo AA la matriz dada en el apartado b).
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dado el plano π ⁣:{x=2+2λ−μy=1−2λ+μz=4+3μ\pi \colon \begin{cases} x = 2 + 2\lambda - \mu \\ y = 1 - 2\lambda + \mu \\ z = 4 + 3\mu \end{cases} y la recta r ⁣:{x+z−4=0y=3r \colon \begin{cases} x + z - 4 = 0 \\ y = 3 \end{cases}
a
Estudia la posición relativa de π\pi y rr. Si se cortan, calcula el punto de corte.
b
Calcula el ángulo que forman π\pi y rr. Calcula el plano que contiene a rr y es perpendicular a π\pi.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Calcula lim⁡x→0cos⁡x−e−2x−2xsen⁡2x\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - e^{-2x} - 2x}{\sen^2 x}
b
Queremos dividir un hilo metálico de 70 metros de longitud en tres partes de manera que una de ellas tenga doble longitud que otra y además que al construir con cada parte un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Calcula la longitud de cada parte.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
La segunda derivada de una función f(x)f(x) es f′′(x)=4e2x−2xf''(x) = 4e^{2x} - 2x. Además la tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto (0,1)(0,1) es paralela a la recta x−y+3=0x - y + 3 = 0. Calcula f(x)f(x).
b
Calcula ∫0π/2xsen⁡(2x+π) dx\int_{0}^{\pi/2} x \sen(2x + \pi) \, dx
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Discute, según los valores de mm, el sistema: {x+my+(m−1)z=m(m−1)y+z=0x+y=0\begin{cases} x + my + (m - 1)z = m \\ (m - 1)y + z = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}
b
Resuélvelo, si es posible, para m=3m = 3.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dadas las rectas r ⁣:{x+y−2z−5=0y−5z−1=0r \colon \begin{cases} x + y - 2z - 5 = 0 \\ y - 5z - 1 = 0 \end{cases} y s ⁣:{x=1+λy=2−2λz=5s \colon \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda \\ z = 5 \end{cases}
a
Estudia su posición relativa. Si se cortan, calcula el punto de corte.
b
Calcula la ecuación implícita o general y las ecuaciones paramétricas del plano que contiene a rr y a ss.
c
Calcula la distancia del punto Q(1,1,4)Q(1,1,4) a la recta ss.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)={mxsi x<1ax2+bx+1si x≥1f(x) = \begin{cases} mx & \text{si } x < 1 \\ ax^2 + bx + 1 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}
a
Calcula los valores de aa, bb y mm para que f(x)f(x) sea derivable en x=1x = 1 y tenga un extremo relativo en x=3x = 3.
b
Enuncia el teorema del valor medio del cálculo diferencial. Para los valores a=1a = 1, b=−6b = -6 y m=−4m = -4, calcula, si existe, un punto c∈(0,5)c \in (0, 5) tal que la tangente a la gráfica de f(x)f(x) en x=cx = c sea paralela al segmento que une los puntos (0,0)(0, 0) y (5,−4)(5, -4).
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Calcula ∫0123+3ex dx\int_{0}^{1} \frac{2}{3 + 3e^x} \, dx
b
Enuncia el teorema fundamental del cálculo integral. Si F(x)=∫0x23+3et dtF(x) = \int_{0}^{x} \frac{2}{3 + 3e^t} \, dt, calcula lim⁡x→0F(x)x\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x}.
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