Matemáticas II · Galicia 2014

Define menor complementario y adjunto de un elemento en una matriz cuadrada.

Sean $I$ la matriz identidad de orden 3 y $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, determina los valores de $\lambda$ para los que $A + \lambda I$ no tiene inversa.

Calcula la matriz $X$ que verifica $AX - A = 2X$, siendo $A$ la matriz dada en el apartado b).

Discute, según los valores de $m$, el sistema: $$\begin{cases} x + my + (m - 1)z = m \\ (m - 1)y + z = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$$

Resuélvelo, si es posible, para $m = 3$.

Estudia la posición relativa de $\pi$ y $r$. Si se cortan, calcula el punto de corte.

Calcula el ángulo que forman $\pi$ y $r$. Calcula el plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.

Estudia su posición relativa. Si se cortan, calcula el punto de corte.

Calcula la ecuación implícita o general y las ecuaciones paramétricas del plano que contiene a $r$ y a $s$.

Calcula la distancia del punto $Q(1,1,4)$ a la recta $s$.

Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - e^{-2x} - 2x}{\sen^2 x}$

Queremos dividir un hilo metálico de 70 metros de longitud en tres partes de manera que una de ellas tenga doble longitud que otra y además que al construir con cada parte un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Calcula la longitud de cada parte.

Calcula los valores de $a$, $b$ y $m$ para que $f(x)$ sea derivable en $x = 1$ y tenga un extremo relativo en $x = 3$.

Enuncia el teorema del valor medio del cálculo diferencial. Para los valores $a = 1$, $b = -6$ y $m = -4$, calcula, si existe, un punto $c \in (0, 5)$ tal que la tangente a la gráfica de $f(x)$ en $x = c$ sea paralela al segmento que une los puntos $(0, 0)$ y $(5, -4)$.

La segunda derivada de una función $f(x)$ es $f''(x) = 4e^{2x} - 2x$. Además la tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto $(0,1)$ es paralela a la recta $x - y + 3 = 0$. Calcula $f(x)$.

Calcula $\int_{0}^{\pi/2} x \sen(2x + \pi) \, dx$

Calcula $\int_{0}^{1} \frac{2}{3 + 3e^x} \, dx$

Enuncia el teorema fundamental del cálculo integral. Si $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{2}{3 + 3e^t} \, dt$, calcula $\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x}$.