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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2017

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
a)2 pts
Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones, según los diferentes valores de la constante λ\lambda real: {x+y=1λx+z=0x+(1+λ)y+λz=λ+1 \begin{cases} x + y = 1 \\ \lambda x + z = 0 \\ x + (1 + \lambda) y + \lambda z = \lambda + 1 \end{cases}
b)1 pts
Halle la solución, si existe, cuando λ=1\lambda = 1.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3 puntos
a)2 pts
Sea AA una matriz de dimensión 3×33 \times 3 y denotamos por ∣A∣|A| el determinante de la matriz.
a.1)1 pts
Considere la matriz B=12AB = \frac{1}{2} A. Si ∣B∣=1|B| = 1, calcule el determinante de AA, es decir: ∣A∣|A|.
a.2)1 pts
Si A=(x11x−1202x−12)A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ x - 1 & 2 & 0 \\ 2 & x - 1 & 2 \end{pmatrix} Determine los valores de xx para los que se cumple que ∣B∣=1|B| = 1, siendo B=12AB = \frac{1}{2} A.
b)1 pts
Determine las matrices cuadradas de dimensión 2×22 \times 2 de la forma M=(1x0y)M = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & y \end{pmatrix} que verifiquen que MMT=(1004)M M^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} donde MTM^T representa la matriz traspuesta de MM.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
a)1 pts
Determine la posición relativa de las dos rectas siguientes: r:{x=1+ty=1+tz=ts:{2x−y=03y−2z=0 r: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = t \end{cases} \qquad \qquad s: \begin{cases} 2x - y = 0 \\ 3y - 2z = 0 \end{cases}
b)1 pts
Determine la distancia del punto P(0,0,0)P(0,0,0) a cada una de las dos rectas anteriores.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
a)1 pts
Sea "mm" una constante real. Determine la posición relativa de los planos siguientes, según los valores de "mm": π:mx−6y+2z=2π′:{x=λ+μy=1−λz=2−2λ+μ\pi : mx - 6y + 2z = 2 \qquad \pi': \begin{cases} x = \lambda + \mu \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2 - 2\lambda + \mu \end{cases}
b)1 pts
Determine el ángulo que forman las rectas: r:{x+z=1y=0s:{2x−4y−2z=0x+y+3z=−1r: \begin{cases} x + z = 1 \\ y = 0 \end{cases} \qquad \qquad s: \begin{cases} 2x - 4y - 2z = 0 \\ x + y + 3z = -1 \end{cases}
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
4 puntos
a)3 pts
Considere la función de variable real xx siguiente: f(x)=x(ln⁡(x))2f(x) = x (\ln(x))^2
a.1)0,5 pts
Determine el dominio de la función f(x)f(x).
a.2)1,5 pts
Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esa función.
a.3)1 pts
Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos y, en ese caso, calcule el valor de la función f(x)f(x) en cada uno de ellos.
b)1 pts
Determine el valor de la constante kk para que se verifique que: lim⁡x→+∞x2+kx−7−x2−2x+5=53\lim_{x \rightarrow + \infty} \sqrt{x^2 + kx - 7} - \sqrt{x^2 - 2x + 5} = \frac{5}{3}
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
4 puntos
a)2 pts
Encuentre dos números tales que el doble del primero más el triple del segundo sea 24 y su producto sea máximo.
b)2 pts
Determine: lim⁡x→0(x+11+sen⁡(x))1x2\lim_{x \to 0} \left(\frac{x + 1}{1 + \operatorname{sen}(x)}\right)^{\frac{1}{x^2}}
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1 punto
En una clase de bachillerato hay 10 chicas y 8 chicos. De ellos 3 chicas y 4 chicos juegan al ajedrez. Si escogemos un estudiante al azar, determine las siguiente probabilidades:
a)0,5 pts
Sea chica y no juegue al ajedrez.
b)0,5 pts
No juegue al ajedrez sabiendo que es chico.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1 punto
En una urna hay 10 bolas blancas y 3 negras. Se extrae una bola al azar y, sin verla ni reemplazarla, se extrae una segunda bola.
a)0,5 pts
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra?
b)0,5 pts
Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, calcule la probabilidad de que la primera bola extraída fuera negra también.
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