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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2017

4 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones, según los diferentes valores de la constante λ\lambda real:{x+y=1λx+z=0x+(1+λ)y+λz=λ+1 \begin{cases} x + y = 1 \\ \lambda x + z = 0 \\ x + (1 + \lambda) y + \lambda z = \lambda + 1 \end{cases} 2 pts
b
Halle la solución, si existe, cuando λ=1\lambda = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
Determine la posición relativa de las dos rectas siguientes:r:{x=1+ty=1+tz=ts:{2x−y=03y−2z=0 r: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = t \end{cases} \qquad \qquad s: \begin{cases} 2x - y = 0 \\ 3y - 2z = 0 \end{cases} 1 pt
b
Determine la distancia del punto P(0,0,0)P(0,0,0) a cada una de las dos rectas anteriores.1 pt
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Ejercicio 3

3
4 puntos
a
Considere la función de variable real xx siguiente:f(x)=x(ln⁡(x))2f(x) = x (\ln(x))^23 pts
a.1
Determine el dominio de la función f(x)f(x).0,5 pts
a.2
Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esa función.1,5 pts
a.3
Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos y, en ese caso, calcule el valor de la función f(x)f(x) en cada uno de ellos.1 pt
b
Determine el valor de la constante kk para que se verifique que:lim⁡x→+∞x2+kx−7−x2−2x+5=53\lim_{x \rightarrow + \infty} \sqrt{x^2 + kx - 7} - \sqrt{x^2 - 2x + 5} = \frac{5}{3}1 pt
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Ejercicio 4

4
1 punto
En una clase de bachillerato hay 10 chicas y 8 chicos. De ellos 3 chicas y 4 chicos juegan al ajedrez. Si escogemos un estudiante al azar, determine las siguiente probabilidades:
a
Sea chica y no juegue al ajedrez.0,5 pts
b
No juegue al ajedrez sabiendo que es chico.0,5 pts
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Sea AA una matriz de dimensión 3×33 \times 3 y denotamos por ∣A∣|A| el determinante de la matriz.2 pts
a.1
Considere la matriz B=12AB = \frac{1}{2} A. Si ∣B∣=1|B| = 1, calcule el determinante de AA, es decir: ∣A∣|A|.1 pt
a.2
SiA=(x11x−1202x−12)A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ x - 1 & 2 & 0 \\ 2 & x - 1 & 2 \end{pmatrix}Determine los valores de xx para los que se cumple que ∣B∣=1|B| = 1, siendo B=12AB = \frac{1}{2} A.1 pt
b
Determine las matrices cuadradas de dimensión 2×22 \times 2 de la formaM=(1x0y)M = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & y \end{pmatrix}que verifiquen queMMT=(1004)M M^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}donde MTM^T representa la matriz traspuesta de MM.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
Sea "mm" una constante real. Determine la posición relativa de los planos siguientes, según los valores de "mm":π:mx−6y+2z=2π′:{x=λ+μy=1−λz=2−2λ+μ\pi : mx - 6y + 2z = 2 \qquad \pi': \begin{cases} x = \lambda + \mu \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2 - 2\lambda + \mu \end{cases}1 pt
b
Determine el ángulo que forman las rectas:r:{x+z=1y=0s:{2x−4y−2z=0x+y+3z=−1r: \begin{cases} x + z = 1 \\ y = 0 \end{cases} \qquad \qquad s: \begin{cases} 2x - 4y - 2z = 0 \\ x + y + 3z = -1 \end{cases}1 pt
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Ejercicio 3

3
4 puntos
a
Encuentre dos números tales que el doble del primero más el triple del segundo sea 24 y su producto sea máximo.2 pts
b
Determine:lim⁡x→0(x+11+sen⁡(x))1x2\lim_{x \to 0} \left(\frac{x + 1}{1 + \operatorname{sen}(x)}\right)^{\frac{1}{x^2}}2 pts
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Ejercicio 4

4
1 punto
En una urna hay 10 bolas blancas y 3 negras. Se extrae una bola al azar y, sin verla ni reemplazarla, se extrae una segunda bola.
a
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra?0,5 pts
b
Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, calcule la probabilidad de que la primera bola extraída fuera negra también.0,5 pts
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