Matemáticas II · Aragón 2010

Estudiar para qué valores de $a$ el determinante de la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 0 & 2a \\ 0 & a - 1 & 0 \\ -a & 0 & -a \end{pmatrix}$ es no nulo. Para $a = 3$ obtener el determinante de la matriz $2A$.

Sean las matrices: $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}$. Calcular el rango de $(AB)^T$.

Estudiar para qué valores de $x$, la matriz inversa de $\begin{pmatrix} x & -2 \\ 5 & -x \end{pmatrix}$ coincide con su opuesta.

Dos hermanos de tercero y cuarto de primaria iban camino del colegio con sus mochilas cargadas de libros todos del mismo peso. Uno de ellos se lamentaba del peso que transportaba y el otro le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te cogiera un libro, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio si te diera un libro, tu carga igualaría a la mía.” ¿Cuántos libros llevaba cada hermano?

Calcular los valores de $a$ para los cuales $f(x)$ es una función continua.

Estudiar la derivabilidad de $f(x)$ para cada uno de esos valores.

Obtener $\int_{-1}^{0} f(x) \, dx$.

Calcular el dominio de $f(x)$.

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.

Analizar las asíntotas de $f(x)$ y calcular las que existan.

Hallar el área encerrada entre la curva $y = x^3 - 3x$ y la recta $y = x$.

Calcular $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2 \ln n}{\ln(7n^2)} \right)^{\ln n}$.

Justificar si son o no perpendiculares.

Calcular la distancia del punto $P(16, 0, 0)$ a la recta $r$.

Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos $(1, 1, 1)$, $(3, -2, 2)$ y es perpendicular al plano $\pi \equiv 2x - y - z = 0$.

Estudiar si los vectores $\vec{a} = (1, 1, 1)$, $\vec{b} = (0, 1, 1)$, $\vec{c} = (0, 0, 1)$ son linealmente independientes.