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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2010

4 ejercicios

Instrucciones

Se proponen dos opciones A y B. Hay que elegir una de las opciones y contestar a sus cuestiones. La puntuación está detallada en cada una de las cuestiones o en sus distintas partes. Se permite el uso de calculadoras, pero los resultados, tanto analíticos como gráficos, deberán estar debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Estudiar para qué valores de aa el determinante de la matriz A=(a02a0a−10−a0−a)A = \begin{pmatrix} a & 0 & 2a \\ 0 & a - 1 & 0 \\ -a & 0 & -a \end{pmatrix} es no nulo. Para a=3a = 3 obtener el determinante de la matriz 2A2A.1,5 pts
b
Sean las matrices: A=(1−12003)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} y B=(12−103−1)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}. Calcular el rango de (AB)T(AB)^T.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f(x)={x2+2x−∞<x≤0sen⁡(ax)0<x<π(x−π)2+1π≤x<+∞f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & -\infty < x \leq 0 \\ \sen(ax) & 0 < x < \pi \\ (x - \pi)^2 + 1 & \pi \leq x < +\infty \end{cases}
a
Calcular los valores de aa para los cuales f(x)f(x) es una función continua.1 pt
b
Estudiar la derivabilidad de f(x)f(x) para cada uno de esos valores.1 pt
c
Obtener ∫−10f(x) dx\int_{-1}^{0} f(x) \, dx.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Encontrar el polinomio de grado dos p(x)=ax2+bx+cp(x) = ax^2 + bx + c sabiendo que satisface: en x=0x = 0 el polinomio vale 22, su primera derivada vale 44 para x=1x = 1 y su segunda derivada vale 22 en x=0x = 0. Estudiar si el polinomio obtenido es una función par. ¿Tiene en x=0x = 0 un punto de inflexión?
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dadas las rectas:r≡{x+2y=7y+2z=4,s≡x−1=y3=z+12 r \equiv \begin{cases} x + 2y = 7 \\ y + 2z = 4 \end{cases}, \qquad \qquad s \equiv x - 1 = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{2}
a
Justificar si son o no perpendiculares.1 pt
b
Calcular la distancia del punto P(16,0,0)P(16, 0, 0) a la recta rr.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Estudiar para qué valores de xx, la matriz inversa de (x−25−x)\begin{pmatrix} x & -2 \\ 5 & -x \end{pmatrix} coincide con su opuesta.1,5 pts
b
Dos hermanos de tercero y cuarto de primaria iban camino del colegio con sus mochilas cargadas de libros todos del mismo peso. Uno de ellos se lamentaba del peso que transportaba y el otro le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te cogiera un libro, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio si te diera un libro, tu carga igualaría a la mía.” ¿Cuántos libros llevaba cada hermano?1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f(x)=2x2−xx2−x3f(x) = \frac{2x^2 - x}{x^2 - x^3}
a
Calcular el dominio de f(x)f(x).0,5 pts
b
Estudiar el crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).1 pt
c
Analizar las asíntotas de f(x)f(x) y calcular las que existan.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Hallar el área encerrada entre la curva y=x3−3xy = x^3 - 3x y la recta y=xy = x.1,25 pts
b
Calcular lim⁡n→∞(2ln⁡nln⁡(7n2))ln⁡n\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2 \ln n}{\ln(7n^2)} \right)^{\ln n}.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,1,1)(1, 1, 1), (3,−2,2)(3, -2, 2) y es perpendicular al plano π≡2x−y−z=0\pi \equiv 2x - y - z = 0.1,75 pts
b
Estudiar si los vectores a⃗=(1,1,1)\vec{a} = (1, 1, 1), b⃗=(0,1,1)\vec{b} = (0, 1, 1), c⃗=(0,0,1)\vec{c} = (0, 0, 1) son linealmente independientes.0,75 pts
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