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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2020

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno elegirá solo TRES problemas entre los seis propuestos. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones {x+ay+2z=3x−3y+az=−2x+y+2z=a\begin{cases} x + ay + 2z = 3 \\ x - 3y + az = -2 \\ x + y + 2z = a \end{cases}, donde aa es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los valores de aa para los cuales el sistema es compatible.4 pts
b
La solución del sistema cuando a=0a = 0.3 pts
c
Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan los planos π:x+y=1\pi: x + y = 1 y π′:x−y+z=1\pi': x - y + z = 1 y el punto P(1,−1,0)P(1, -1, 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Unas ecuaciones paramétricas de la recta rr que pasa por el punto PP y es paralela a los planos π\pi y π′\pi'.3 pts
b
La distancia de la recta rr a cada uno de los planos π\pi y π′\pi'.3 pts
c
Las ecuaciones de la recta que pasa por PP y corta perpendicularmente a la recta obtenida como intersección de los planos π\pi y π′\pi'.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dada la función f(x)=xx2−1f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}, obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El dominio de definición y las asíntotas de la función ff.3 pts
b
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la representación gráfica de la función.4 pts
c
El valor de ∫23f(x)dx\int_{2}^{3} f(x) dx.3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Sea A=(120010021)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La justificación de que AA tiene inversa y el cálculo de dicha matriz inversa.3 pts
b
Dos constantes a,ba, b de modo que A−1=A2+aA+bIA^{-1} = A^2 + aA + bI. Se puede usar (sin comprobarlo) que AA verifica la ecuación A3−3A2+3A−I=0A^3 - 3A^2 + 3A - I = 0 siendo II la matriz identidad.3 pts
c
El valor de λ\lambda para que el sistema de ecuaciones (A−λI)⋅x⃗=0⃗(A - \lambda I) \cdot \vec{x} = \vec{0} tenga infinitas soluciones. Para dicho valor de λ\lambda hallar todas las soluciones del sistema.4 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Se dan las rectas r:{x=1y=2+λz=2λr: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + \lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}, s:x+12=y−1=z+21s: \frac{x+1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+2}{1} y el plano π:3x+ay−z+1=0\pi: 3x + ay - z + 1 = 0. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Si hay algún valor del parámetro aa para el cual la recta rr está contenida en el plano π\pi.4 pts
b
La distancia entre las rectas rr y ss.3 pts
c
El coseno del ángulo que forman la recta rr y la recta t:{2x−y=0y−z=0t: \begin{cases} 2x - y = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}.3 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Los vértices de un triángulo son A(0,12)A(0, 12), B(−5,0)B(-5, 0) y C(5,0)C(5, 0). Se desea construir un rectángulo inscrito en el triángulo anterior, de lados paralelos a los ejes coordenados y dos de cuyos vértices tienen coordenadas (−x,0)(-x, 0), (x,0)(x, 0), siendo 0≤x≤50 \leq x \leq 5. Los otros dos vértices están situados en los segmentos ABAB y ACAC. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La expresión A(x)A(x) del área del rectángulo anterior.4 pts
b
El valor de xx para el cual dicha área es máxima y las dimensiones del rectángulo obtenido.3 pts
c
La proporción entre el área del rectángulo anterior y el área del triángulo.3 pts
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