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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Después de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a elegir entre las ocho que se proponen. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. TIEMPO Y CALIFICACIÓN: 90 minutos. Cada pregunta se calificará sobre 2.5 puntos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real aa:{x+ay+z=a+1−ax+y−z=2a−y+z=a\begin{cases} x + ay + z = a + 1 \\ -ax + y - z = 2a \\ -y + z = a \end{cases}
a
Discutir el sistema según los diferentes valores de aa.2 pts
b
Resolver el sistema para a=0a = 0.0,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Según informa la Asociación Empresarial de Acuicultura de España, durante el año 2016 se comercializaron en España doradas, lubinas y rodaballos por un total de 275,8275{,}8 millones de euros. En dicho informe figura que se comercializaron un total de 1374013740 toneladas de doradas y 2344023440 toneladas de lubinas. En cuanto a los rodaballos, se vendieron 74007400 toneladas por un valor de 63,663{,}6 millones de euros. Sabiendo que el kilo de dorada fue 1111 céntimos más caro que el kilo de lubina, se pide calcular el precio del kilo de cada uno de los tres tipos de pescado anteriores.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Dadas las funciones f(x)=x3+3x2−1f(x) = x^3 + 3x^2 - 1 y g(x)=6xg(x) = 6x, se pide:
a
Justificar, usando el teorema adecuado, que existe algún punto en el intervalo [1,10][1, 10] en el que ambas funciones toman el mismo valor.0,5 pts
b
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x)y = f(x) con pendiente mínima.1 pt
c
Calcular ∫12f(x)g(x)dx\int_{1}^{2} \frac{f(x)}{g(x)} dx.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Sea la funciónf(x)={(x−1)2si x≤1(x−1)3si x>1f(x) = \begin{cases} (x - 1)^2 & \text{si } x \leq 1 \\ (x - 1)^3 & \text{si } x > 1 \end{cases}
a
Estudie su continuidad en [−4,4][-4, 4].0,5 pts
b
Analice su derivabilidad y crecimiento en [−4,4][-4, 4].1 pt
c
Determine si la función g(x)=f′(x)g(x) = f'(x) está definida, es continua y es derivable en x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Dadas las rectas r≡{x−y=23x−z=−1z=λ,s≡{x=−1+2λy=−4−λz=λr \equiv \begin{cases} x - y = 2 \\ 3x - z = -1 \\ z = \lambda \end{cases}, \quad\allowbreak s \equiv \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = -4 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}
a
Calcular la posición relativa de las rectas rr y ss.1 pt
b
Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta rr y que pasa por el punto P(2,−1,5)P(2, -1, 5).0,5 pts
c
Encontrar la ecuación del plano paralelo a la recta rr que contiene a la recta ss.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dados los puntos P(−3,1,2)P(-3, 1, 2) y Q(−1,0,1)Q(-1, 0, 1) y el plano π\pi de ecuación x+2y−3z=4x + 2y - 3z = 4, se pide:
a
Hallar la proyección de QQ sobre π\pi.1 pt
b
Escribir la ecuación del plano paralelo a π\pi que pasa por el punto PP.0,5 pts
c
Escribir la ecuación del plano perpendicular a π\pi que contiene a los puntos PP y QQ.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Un arquero aficionado dispone de 4 flechas y dispara a un globo colocado en el centro de una diana. La probabilidad de alcanzar el blanco en el primer tiro es del 30%. En los lanzamientos sucesivos la puntería se va afinando, de manera que en el segundo es del 40%, en el tercero del 50% y en el cuarto del 60%. Se pide:
a
Calcular la probabilidad de que el globo haya explotado sin necesidad de hacer el cuarto disparo.1 pt
b
Calcular la probabilidad de que el globo siga intacto tras el cuarto disparo.0,5 pts
c
En una exhibición participan diez arqueros profesionales, que aciertan un 85% de sus lanzamientos. Calcular la probabilidad de que entre los 10 hayan explotado exactamente 6 globos al primer disparo.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Se consideran dos sucesos AA y BB tales que P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(B)=0,25P(B) = 0{,}25 y P(A∩B)=0,125P(A \cap B) = 0{,}125. Responder de manera razonada o calcular lo que se pide en los siguientes casos:
a
Sea CC otro suceso, incompatible con AA y con BB. ¿Son compatibles los sucesos CC y A∪BA \cup B?0,5 pts
b
¿Son AA y BB independientes?0,5 pts
c
Calcular la probabilidad P(Aˉ∩Bˉ)P(\bar{A} \cap \bar{B}) (donde Aˉ\bar{A} denota el suceso complementario al suceso AA).0,75 pts
d
Calcular P(Bˉ∣A)P(\bar{B} | A).0,75 pts
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