Matemáticas II · Madrid 2020

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real $a$: $$\begin{cases} x + ay + z = a + 1 \\ -ax + y - z = 2a \\ -y + z = a \end{cases}$$

Según informa la Asociación Empresarial de Acuicultura de España, durante el año 2016 se comercializaron en España doradas, lubinas y rodaballos por un total de $275{,}8$ millones de euros. En dicho informe figura que se comercializaron un total de $13740$ toneladas de doradas y $23440$ toneladas de lubinas. En cuanto a los rodaballos, se vendieron $7400$ toneladas por un valor de $63{,}6$ millones de euros. Sabiendo que el kilo de dorada fue $11$ céntimos más caro que el kilo de lubina, se pide calcular el precio del kilo de cada uno de los tres tipos de pescado anteriores.

Dadas las funciones $f(x) = x^3 + 3x^2 - 1$ y $g(x) = 6x$, se pide:

Sea la función $$f(x) = \begin{cases} (x - 1)^2 & \text{si } x \leq 1 \\ (x - 1)^3 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

Dadas las rectas $r \equiv \begin{cases} x - y = 2 \\ 3x - z = -1 \\ z = \lambda \end{cases}, \quad s \equiv \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = -4 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$

Dados los puntos $P(-3, 1, 2)$ y $Q(-1, 0, 1)$ y el plano $\pi$ de ecuación $x + 2y - 3z = 4$, se pide:

Un arquero aficionado dispone de 4 flechas y dispara a un globo colocado en el centro de una diana. La probabilidad de alcanzar el blanco en el primer tiro es del 30%. En los lanzamientos sucesivos la puntería se va afinando, de manera que en el segundo es del 40%, en el tercero del 50% y en el cuarto del 60%. Se pide:

Se consideran dos sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}25$ y $P(A \cap B) = 0{,}125$. Responder de manera razonada o calcular lo que se pide en los siguientes casos: