Practica por temas

Calcule el área de la figura plana limitada por la recta $y = 2x$ y la curva $y = x^2 - 3$ (6 puntos). Dibuje el recinto limitado por ambas curvas (4 puntos).

Se considera la función $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$

Sabemos que la función $f(x) = ax^2 + bx + c$ tiene un mínimo en el punto $(1,1)$ y corta al eje de ordenadas en $4$. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

El ayuntamiento dispone de 48000 € para la puesta en marcha de huertas ecológicas en un viejo terreno municipal abandonado. Se destinará un máximo de 50 hectáreas al cultivo de hortalizas y un mínimo de 10 al de árboles frutales. Se dispone de un tanque de agua con una capacidad de 480 m³ anuales para riego. Se sabe que cada hectárea dedicada al cultivo de hortalizas necesita $8\,\text{m}^3$ de agua anuales, cantidad que disminuye hasta los $4\,\text{m}^3$ anuales en el caso de las hectáreas dedicadas al cultivo de árboles frutales. Se sabe también que cada hectárea dedicada al cultivo de hortalizas requiere una inversión por parte del ayuntamiento de 400 €, siendo esta cantidad de 800 € para cada hectárea dedicada al cultivo de árboles frutales. Se sabe además que la producción anual de cada hectárea de hortalizas es de 450 kg y la de cada hectárea de árboles frutales es de 600 kg. El objetivo que persigue el ayuntamiento es maximizar la producción anual total.

Restringidos al dominio $x \in [0, 20]$, considera las tres funciones siguientes: $$f(x) = x(10 - x), \qquad g(x) = 125 - 20x, \qquad h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } 0 \leq x \leq 15, \\ g(x) & \text{si } 15 < x \leq 20. \end{cases}$$